Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um avião precisa de uma velocidade de 180 km/h para decolar e a pista utilizável tem 2400 m de comprimento. Partindo do repouso, de que aceleração constante a ele precisa?
Uma bola é lançada verticalmente para cima a 10 m/s da beira de um telhado a 10 m do chão. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Quanto tempo após o lançamento ela atinge o chão? Calcule t.
Uma caixa de 45 kg é empurrada rampa acima, inclinada a 20° em relação à horizontal, com velocidade constante, por uma força paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,4. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força de empurrão F.
Um bloco de 9,5 kg em uma rampa a 25° está ligado por um fio leve, passando por uma polia sem atrito no topo da rampa, a uma massa pendurada de 9 kg. A massa pendurada desce. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,25. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio.
Uma bola é lançada a 70° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.
Uma bola é lançada a 27 m/s e 55° acima da horizontal do alto de um penhasco de 25 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima H acima do chão ao pé do penhasco.
Em um rotor de parque de diversões, as pessoas ficam encostadas na parede de um cilindro vertical de raio 3,3 m. Quando ele gira rápido o bastante, o piso desce e o atrito as segura. O coeficiente de atrito estático é 0,3. Use g = 9,81 m/s². Encontre a menor velocidade angular ω em rad/s.
Uma curva de raio 40 m tem sobrelevação de 30°, e o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada é 0,15. Use g = 9,81 m/s². Encontre a maior velocidade vmax com que um carro pode fazer a curva sem deslizar para cima e para fora.
Um bloco desliza a partir do repouso por uma rampa a 15° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,15. Encontre sua velocidade v depois de deslizar 20 m ao longo da rampa.
Um bloco de 0,5 kg é solto do repouso na altura 5 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 1 m (μ = 0,3) e depois encontra uma mola (k = 2000 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a compressão máxima x da mola.
Um carrinho de 3 kg a 3 m/s sofre uma colisão frontal perfeitamente elástica com um carrinho de 5 kg em repouso em um trilho sem atrito. Calcule a velocidade v′2 do segundo carrinho após a colisão.
Em um cruzamento, um carro de 900 kg que vai para leste a 17 m/s colide com um carro de 1600 kg que vai para norte a 18 m/s. Os carros ficam presos um ao outro. Encontre a velocidade v′ dos destroços logo após a colisão.
Um motor leva um volante com momento de inércia de 30,5 kg·m² do repouso até 1300 rpm em 29 s. Desprezando as perdas, encontre a potência média Pavg que ele fornece, em kW.
Uma pessoa está em uma plataforma giratória sem atrito e segura um haltere de 1 kg em cada mão, a 0,9 m do eixo. A pessoa e a plataforma sozinhas têm momento de inércia de 1,5 kg·m² em relação ao eixo. Elas giram a 30 rpm e então puxam os halteres para 0,35 m do eixo. Trate os halteres como massas pontuais. Encontre a nova velocidade n2 em rpm.
Dois eixos paralelos estão a 78,75 mm de distância. Eles devem ser ligados por um par de engrenagens de dentes retos com módulo de 2,5 mm e redução de 2,5 : 1. Quantos dentes N1 o pinhão deve ter?
Uma correia aberta liga uma polia motora de 125 mm a 1450 rpm a uma polia de 500 mm; os centros estão a 1000 mm de distância. O coeficiente de atrito é 0,3 e a tração no lado tracionado não pode exceder 500 N. Encontre a maior potência P que a correia pode transmitir sem escorregar, em kW (ignore os efeitos centrífugos).
Qual deve ser o comprimento de um pêndulo simples para ter período de 2,4 s? Use g = 9,81 m/s². Calcule L.
Um corpo oscila em movimento harmônico simples com período 2 s e amplitude 16 cm. Qual é o menor tempo t de que ele precisa para ir do seu deslocamento máximo de 16 cm até um deslocamento de 4 cm?
Em um ensaio de vibração livre de um sistema massa–mola amortecido, um pico de deslocamento de 30 mm é seguido, 2 ciclos depois, por um pico de 16 mm. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 100 kg está pendurada em duas molas lado a lado (em paralelo), com rigidezes k₁ = 50 kN/m e k₂ = 12 kN/m. A massa permanece nivelada. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: a = 0,5208 m/s²
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Resposta: t = 2,774 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Para cima é positivo e o chão está h₀ abaixo do ponto de partida.
Só a raiz positiva tem sentido físico.
Resposta: F = 316,9 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Velocidade constante: as forças se equilibram.
Resposta: T = 74,77 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Resposta: t = 7,28 s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Partindo e chegando na mesma altura: t = 2vy/g.
Resposta: H = 49,93 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Resposta: ω = 3,148 rad/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Resposta: vmax = 17,68 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
O atrito aponta para baixo na inclinação.
Resposta: v = 6,686 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
O bloco desce uma altura d·sin θ enquanto o atrito remove μmg·cos θ·d. A massa se cancela.
Resposta: x = 15,18 cm
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: v′2 = 2,25 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resolver juntas a conservação da quantidade de movimento e da energia dá estes dois resultados.
Resposta: v′ = 13,04 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: Pavg = 9,746 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Resposta: n2 = 53,64 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
A energia cinética aumenta: a energia extra vem do trabalho que a pessoa realiza ao puxar os halteres.
Resposta: N1 = 18
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Resposta: P = 2,675 kW
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: L = 1,431 m
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: t = 0,4196 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,04996
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: fn = 3,963 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas lado a lado compartilham a deflexão e somam suas forças, então suas rigidezes simplesmente se somam: k = k1 + k2.
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