Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 120 km/h freia com desaceleração constante de 3 m/s² até parar. Calcule a distância de frenagem s.
Uma pedra é solta do repouso em um poço. O som do impacto na água é ouvido 1,6 s depois que a pedra é solta. A velocidade do som é 343 m/s; despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a profundidade d do poço.
Massas de 7 kg e 1 kg estão penduradas dos dois lados de uma polia leve e sem atrito, ligadas por um fio leve. O sistema é solto do repouso. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio.
Um bloco de 1 kg sobre uma mesa horizontal está ligado por um fio leve, que passa por uma polia sem atrito, a uma massa suspensa de 1,5 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é 0,3. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do sistema.
Uma bola é lançada a partir do chão plano a 38 m/s e deve cair a 60 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre o menor dos dois ângulos de lançamento possíveis θ.
Uma bola é lançada do nível do chão a 31 m/s e 60° acima da horizontal. Ela cai no telhado plano de um prédio de 15 m de altura, já descendo. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a distância horizontal x do ponto de lançamento até onde ela cai.
Em um rotor de parque de diversões, as pessoas ficam encostadas na parede de um cilindro vertical de raio 1,6 m. Quando ele gira rápido o bastante, o piso desce e o atrito as segura. O coeficiente de atrito estático é 0,5. Use g = 9,81 m/s². Encontre a menor frequência de rotação n em rotações por minuto.
Uma bola de 1,8 kg presa a um fio de 0,9 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 7 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.
Um carro a 70 km/h em uma estrada plana freia bruscamente e derrapa até parar com as rodas travadas. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada é 0,7. Encontre a distância de frenagem d.
Um bloco de 2 kg é solto do repouso na altura 4,5 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 2 m (μ = 0,2) e depois encontra uma mola (k = 800 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a velocidade v do bloco quando chega à mola.
Um projétil de 12 g é disparado horizontalmente contra um bloco de madeira de 4 kg pendurado por fios leves e fica alojado nele. O bloco oscila para cima até ficar 4 cm mais alto que no início. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v do projétil antes do impacto.
Um projétil de 20 g é disparado horizontalmente contra um bloco de 3,5 kg pendurado por fios leves de 0,8 m e fica alojado nele. Os fios oscilam até um ângulo máximo de 10° com a vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v do projétil antes do impacto.
Um volante com momento de inércia de 10 kg·m² gira a 700 rpm. Um freio aplica um torque de atrito constante de 65 N·m. Quantas voltas N o volante dá antes de parar?
Um corpo (esfera maciça) rola sem deslizar por um plano inclinado de 35° em relação à horizontal. Use g = 9,81 m/s². Encontre o menor coeficiente de atrito estático μs que o impede de deslizar.
Um motor de 5,5 kW girando a 1450 rpm aciona um pinhão com 16 dentes e módulo de 3 mm. Encontre a força tangencial Ft nos dentes do pinhão.
Um motor de 11 kW a 1440 rpm aciona a engrenagem A (15 dentes), que engrena com a engrenagem B (72 dentes). A engrenagem C (12 dentes), no mesmo eixo de B, aciona a engrenagem D (15 dentes) no eixo de saída. Cada engrenamento tem eficiência de 96%. Encontre o torque de saída Tout.
Uma massa de 0,2 kg presa a uma mola com k = 70 N/m é puxada 3 cm no sentido positivo e solta do repouso em t = 0. Encontre sua velocidade v em t = 1,5 s (com sinal).
Uma massa de 0,9 kg presa a uma mola com k = 40 N/m é deslocada 17 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule sua velocidade máxima vmax.
Uma massa de 80 kg é sustentada por uma mola com rigidez de 12 kN/m e por um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 780 N·s/m. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 25 kg está pendurada na mola k₃ = 30 kN/m. O topo de k₃ está preso a uma barra rígida que está pendurada em duas molas lado a lado, k₁ = 10 kN/m e k₂ = 80 kN/m; a barra permanece nivelada. Despreze o amortecimento e as massas das molas e da barra. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: s = 185,2 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: d = 12,01 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Só a raiz positiva tem sentido físico.
Resposta: T = 17,17 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
A força motriz resultante é a diferença dos pesos; ela move a massa total.
Resposta: a = 4,709 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: θ = 12,03 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
A outra solução é 90° − θ = 77,97°.
Resposta: x = 75,05 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Raiz maior: a bola está descendo.
Resposta: n = 33,44 rpm
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Resposta: T = 115,7 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para cima) é positivo.
Resposta: d = 27,53 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Dobrar a velocidade torna a distância de frenagem quatro vezes maior.
Resposta: v = 8,969 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: v = 296,2 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: v = 85,94 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: N = 65,79 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Resposta: μs = 0,2001
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Resposta: Ft = 1509 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Resposta: Tout = 403,4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Resposta: v = −0,118 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: vmax = 1,133 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,398
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, então o sistema é subamortecido e oscila enquanto decai.
Resposta: fn = 4,775 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Só k1 e k2 estão em paralelo. Esse par está em série com k3, então combine-os pelos inversos.
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