Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro em alta velocidade, a 30 m/s constantes, passa por uma viatura policial parada. Nesse instante a viatura parte e acelera uniformemente a 3 m/s². A que distância do seu ponto de partida a viatura alcança o carro? Encontre d.
Um bonde parte do repouso e acelera a 2 m/s² durante 5 s, depois anda com velocidade constante durante 14 s e por fim freia a 5 m/s² até parar. Encontre o tempo total de percurso t.
Um trenó de 25 kg é puxado sobre neve plana por uma corda a 40° acima da horizontal com uma força de 190 N. O coeficiente de atrito cinético é 0,4. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração a do trenó.
Dois blocos sobre um piso horizontal estão ligados por um fio horizontal leve. Uma força horizontal de 125 N puxa o bloco da frente, de 12 kg; o bloco de 4 kg é rebocado atrás. O coeficiente de atrito cinético é 0,15 para os dois blocos. Use g = 9,81 m/s². Encontre a tração T no fio de ligação.
Uma bola é lançada a 40° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre a distância horizontal x percorrida antes de a bola atingir o chão.
Uma bola é lançada a 12 m/s e 30° acima da horizontal do alto de um penhasco de 20 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Com que ângulo α abaixo da horizontal ela atinge o chão?
Em um rotor de parque de diversões, as pessoas ficam encostadas na parede de um cilindro vertical de raio 3,4 m. Quando ele gira rápido o bastante, o piso desce e o atrito as segura. O coeficiente de atrito estático é 0,3. Use g = 9,81 m/s². Encontre a menor frequência de rotação n em rotações por minuto.
Uma bola de 1,4 kg presa a um fio de 1,1 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 4,5 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.
Um lançador de brinquedo tem uma mola vertical de rigidez 1000 N/m. Uma bola de 0,15 kg é colocada sobre ela e a mola é comprimida 3 cm e depois solta. Desprezando a resistência do ar e a massa da mola, encontre a altura h que a bola sobe, medida a partir da sua posição com a mola comprimida.
Um bloco de 2,5 kg é solto do repouso na altura 3,5 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 3,5 m (μ = 0,25) e depois encontra uma mola (k = 5000 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a compressão máxima x da mola.
Um carrinho de 0,5 kg a 7 m/s sofre uma colisão frontal perfeitamente elástica com um carrinho de 1 kg em repouso em um trilho sem atrito. Calcule a velocidade v′1 do primeiro carrinho após a colisão (positiva no seu sentido original).
Uma bola de 0,4 kg atinge uma parede a 20 m/s e volta em linha reta a 12 m/s. O contato dura 5 ms. Calcule o módulo do impulso J que a parede aplica à bola.
Um bloco de 0,5 kg está pendurado em um cabo leve enrolado em uma polia, um disco maciço uniforme de massa 9 kg e raio 0,1 m que gira em um eixo horizontal sem atrito. O bloco é solto a partir do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a tração T no cabo.
Um corpo (cilindro maciço) parte do repouso e rola sem deslizar por um plano inclinado de 25° em relação à horizontal. Use g = 9,81 m/s². Encontre sua velocidade v depois de rolar 10 m ao longo do plano.
Um motor de 1,1 kW girando a 1450 rpm aciona um pinhão com 36 dentes, que engrena com uma engrenagem de 50 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 95%. Calcule o torque de saída T2 no eixo da engrenagem.
Uma correia aberta liga uma polia de 160 mm e uma polia de 400 mm cujos centros estão a 1200 mm de distância. Encontre o ângulo de abraçamento θ na polia menor, em graus.
Um pêndulo simples tem comprimento de 2 m. Use g = 9,81 m/s². Calcule seu período T para pequenas oscilações.
Uma massa de 1,3 kg é presa à extremidade inferior de uma mola vertical não deformada com k = 240 N/m e solta do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre o maior alongamento xmax da mola em cm.
Uma massa de 8 kg é sustentada por uma mola com rigidez de 20 kN/m e por um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 400 N·s/m. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 100 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 15 kN/m e a inferior k₂ = 25 kN/m. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: d = 600 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Nesse momento a viatura se move a 2v = 60 m/s.
Resposta: t = 21 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: a = 3,852 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: T = 31,25 N
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Com o mesmo μ nos dois blocos, o atrito sai da conta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Resposta: x = 145 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Partindo e chegando na mesma altura: t = 2vy/g.
Resposta: α = 63,34 °
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Energia, ou v² = v₀² + 2as na direção vertical.
Resposta: n = 29,61 rpm
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: T = 39,51 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para cima) é positivo.
Resposta: h = 0,3058 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: x = 16,05 cm
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: v′1 = −2,333 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resolver juntas a conservação da quantidade de movimento e da energia dá estes dois resultados.
O sinal negativo significa que o primeiro carrinho volta para trás.
Resposta: J = 12,8 N·s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: T = 4,415 N
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
Resposta: v = 7,435 m/s
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
Rolamento sem deslizamento: ω = v/r, e o atrito não realiza trabalho no ponto de contato.
Resposta: T2 = 9,558 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: θ = 168,5 °
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: T = 2,837 s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: xmax = 10,63 cm
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,5
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, então o sistema é subamortecido e oscila enquanto decai.
Resposta: fn = 1,541 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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