Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Uma motorista a 90 km/h vê um obstáculo. Seu tempo de reação é 0,5 s, depois do qual o carro freia com desaceleração constante de 8 m/s². Encontre a distância total de parada d a partir do momento em que ela vê o obstáculo.
Um foguete-modelo é lançado verticalmente para cima a partir do repouso. Seu motor lhe dá uma aceleração constante para cima de 28 m/s² durante 2,5 s, depois disso o motor desliga e o foguete se move livremente. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima hmax que o foguete atinge.
Um bloco de 8 kg desliza para baixo em um plano inclinado a 20° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,3. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do bloco ao longo do plano.
Um bloco de 10 kg sobre uma mesa horizontal está ligado por um fio leve, que passa por uma polia sem atrito, a uma massa suspensa de 5 kg. A mesa não tem atrito. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do sistema.
Uma bola é lançada a partir do chão plano a 20 m/s e deve cair a 30 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre o menor dos dois ângulos de lançamento possíveis θ.
Uma bola é lançada a 20° acima da horizontal do topo de um penhasco de 15 m. Despreze a resistência do ar. Encontre a distância horizontal x percorrida antes de a bola atingir o chão.
Uma pequena bola presa a um fio de comprimento 0,7 m se move em um círculo horizontal de modo que o fio forma um ângulo constante de 20° com a vertical (um pêndulo cônico). Use g = 9,81 m/s². Encontre o tempo T de uma volta.
Uma bola de 0,2 kg presa a um fio de 1,2 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 3 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.
Uma bola de 0,5 kg está pendurada em um fio leve de comprimento 1,5 m. Ela é afastada até o fio formar 90° com a vertical e solta do repouso. Encontre a tração T no fio quando a bola passa pelo ponto mais baixo.
Um bloco de 10 kg é solto do repouso na altura 4,5 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 5 m (μ = 0,25) e depois encontra uma mola (k = 5000 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a compressão máxima x da mola.
Um carrinho de 3 kg a 4 m/s sofre uma colisão frontal perfeitamente elástica com um carrinho de 2,5 kg em repouso em um trilho sem atrito. Calcule a velocidade v′2 do segundo carrinho após a colisão.
Uma bola de 0,55 kg atinge uma parede a 15 m/s e volta em linha reta a 14 m/s. O contato dura 25 ms. Calcule a força média Favg da parede sobre a bola.
Uma barra esbelta uniforme de massa 8,5 kg e comprimento 2,2 m está articulada em uma extremidade e é solta do repouso na posição horizontal. Despreze o atrito e use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v da extremidade livre quando a barra passa pela posição vertical.
Um corpo (cilindro maciço) rola sem deslizar por um plano inclinado de 15° em relação à horizontal. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração a do seu centro.
Um parafuso sem-fim com 4 entrada(s) gira a 1450 rpm e aciona uma coroa com 45 dentes. Encontre a rotação nw da coroa.
Em um trem de engrenagens composto, a engrenagem A (15 dentes), no eixo de entrada girando a 3000 rpm, aciona a engrenagem B (16 dentes). A engrenagem C (32 dentes) está fixada no mesmo eixo que B e aciona a engrenagem D (60 dentes) no eixo de saída. Calcule a rotação de saída nout.
Um astronauta em outro planeta verifica que um pêndulo simples de 0,8 m tem período de 1,89 s para pequenas oscilações. Encontre a aceleração da gravidade g nesse planeta.
Uma massa de 1,1 kg presa a uma mola com k = 490 N/m é deslocada 18 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule sua velocidade máxima vmax.
Uma massa de 8 kg é sustentada por uma mola com rigidez de 12 kN/m e por um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 250 N·s/m. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 10 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 5 kN/m e a inferior k₂ = 20 kN/m. Encontre a rigidez equivalente keq do sistema de molas em kN/m.
Resposta: d = 51,56 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: hmax = 337,2 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
No topo a velocidade é zero.
Resposta: a = 0,5897 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Para baixo ao longo do plano é positivo.
Resposta: a = 3,27 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: θ = 23,69 °
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A outra solução é 90° − θ = 66,31°.
Resposta: x = 33,1 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Resolva y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 para a raiz positiva.
Resposta: T = 1,627 s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Tração e gravidade juntas dão a força para dentro: tan θ = v²/(r·g).
Resposta: T = 3,462 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para cima) é positivo.
Resposta: T = 14,71 N
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d). Em uma trajetória circular a força resultante em direção ao centro deve ser igual a mv²/r.
Verificação: T = mg(3 − 2cos θ) = 14,71 N.
Resposta: x = 35,71 cm
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: v′2 = 4,364 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resolver juntas a conservação da quantidade de movimento e da energia dá estes dois resultados.
Resposta: Favg = 638 N
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: v = 8,046 m/s
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
Resposta: a = 1,693 m/s²
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
Resposta: nw = 128,9 rpm
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: nout = 1500 rpm
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
relação total = 2 : 1
Resposta: g = 8,842 m/s²
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: vmax = 3,799 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,4034
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, então o sistema é subamortecido e oscila enquanto decai.
Resposta: keq = 4 kN/m
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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