Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro em alta velocidade, a 31 m/s constantes, passa por uma viatura policial parada. Nesse instante a viatura parte e acelera uniformemente a 6 m/s². A que distância do seu ponto de partida a viatura alcança o carro? Encontre d.
Uma bola é lançada verticalmente para cima a 13 m/s da beira de um telhado a 40 m do chão. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Quanto tempo após o lançamento ela atinge o chão? Calcule t.
Um bloco de 20 kg desliza para baixo em um plano inclinado a 25° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,1. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do bloco ao longo do plano.
Um bloco de 7,5 kg em uma rampa a 40° está ligado por um fio leve, passando por uma polia sem atrito no topo da rampa, a uma massa pendurada de 6,5 kg. A massa pendurada desce. A rampa não tem atrito. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio.
Uma bola é lançada a partir do chão plano a 50° acima da horizontal e cai a 15 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade de lançamento v0.
Uma bola é lançada a 33 m/s e 20° acima da horizontal do alto de um penhasco de 40 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima H acima do chão ao pé do penhasco.
Um carro faz uma curva plana de raio 20 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,5. Use g = 9,81 m/s². Calcule a maior velocidade vmax com que o carro pode fazer a curva sem derrapar.
Uma curva de raio 70 m tem sobrelevação de 18°, e o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada é 0,3. Use g = 9,81 m/s². Encontre a maior velocidade vmax com que um carro pode fazer a curva sem deslizar para cima e para fora.
Uma bola de 0,2 kg está pendurada em um fio leve de comprimento 2 m. Ela é afastada até o fio formar 60° com a vertical e solta do repouso. Encontre a tração T no fio quando a bola passa pelo ponto mais baixo.
Uma mola de rigidez 5000 N/m na base de uma rampa de 35° é comprimida 10 cm contra um bloco de 1 kg e solta. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,2. Que distância d rampa acima o bloco percorre a partir do ponto de soltura antes de parar? (Despreze a curta distância em que a mola empurra, ou seja, considere o atrito e a gravidade ao longo de toda a distância d.)
Um carrinho de 0,5 kg a 6 m/s sofre uma colisão frontal perfeitamente elástica com um carrinho de 3,5 kg em repouso em um trilho sem atrito. Calcule a velocidade v′2 do segundo carrinho após a colisão.
Uma bola de 0,15 kg atinge uma parede a 26 m/s e volta em linha reta a 19 m/s. O contato dura 5 ms. Calcule o módulo do impulso J que a parede aplica à bola.
Uma barra esbelta uniforme de massa 8 kg e comprimento 1,6 m está articulada em uma extremidade e é solta do repouso na posição horizontal. Despreze o atrito e use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v da extremidade livre quando a barra passa pela posição vertical.
Uma pessoa está em uma plataforma giratória sem atrito e segura um haltere de 1,5 kg em cada mão, a 0,6 m do eixo. A pessoa e a plataforma sozinhas têm momento de inércia de 2 kg·m² em relação ao eixo. Elas giram a 45 rpm e então puxam os halteres para 0,25 m do eixo. Trate os halteres como massas pontuais. Encontre a nova velocidade n2 em rpm.
Um motor de 2,2 kW girando a 960 rpm aciona um pinhão com 24 dentes, que engrena com uma engrenagem de 60 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 98%. Calcule o torque T1 no eixo do motor.
Uma correia aberta liga uma polia de 125 mm e uma polia de 400 mm cujos centros estão a 500 mm de distância. Encontre o ângulo de abraçamento θ na polia menor, em graus.
Uma massa de 0,8 kg presa a uma mola com k = 260 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 4 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 2 cm do equilíbrio.
Um corpo oscila em movimento harmônico simples com período 3,3 s e amplitude 18 cm. Qual é o menor tempo t de que ele precisa para ir do seu deslocamento máximo de 18 cm até um deslocamento de 9 cm?
Em um ensaio de vibração livre de um sistema massa–mola amortecido, um pico de deslocamento de 50 mm é seguido, 3 ciclos depois, por um pico de 28,4 mm. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 100 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 25 kN/m e a inferior k₂ = 30 kN/m. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: d = 320,3 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Nesse momento a viatura se move a 2v = 62 m/s.
Resposta: t = 4,473 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Para cima é positivo e o chão está h₀ abaixo do ponto de partida.
Só a raiz positiva tem sentido físico.
Resposta: a = 3,257 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Para baixo ao longo do plano é positivo.
Resposta: T = 56,12 N
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: v0 = 12,22 m/s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Resposta: H = 46,49 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Resposta: vmax = 9,905 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: vmax = 21,81 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
O atrito aponta para baixo na inclinação.
Resposta: T = 3,924 N
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d). Em uma trajetória circular a força resultante em direção ao centro deve ser igual a mv²/r.
Verificação: T = mg(3 − 2cos θ) = 3,924 N.
Resposta: d = 3,456 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v′2 = 1,5 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resolver juntas a conservação da quantidade de movimento e da energia dá estes dois resultados.
Resposta: J = 6,75 N·s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: v = 6,862 m/s
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
Resposta: n2 = 63,36 rpm
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
A energia cinética aumenta: a energia extra vem do trabalho que a pessoa realiza ao puxar os halteres.
Resposta: T1 = 21,88 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: θ = 148,1 °
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: v = 0,6245 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: t = 0,55 s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,02999
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: fn = 1,859 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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