Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro em alta velocidade, a 17 m/s constantes, passa por uma viatura policial parada. Nesse instante a viatura parte e acelera uniformemente a 5,5 m/s². A que distância do seu ponto de partida a viatura alcança o carro? Encontre d.
Uma bola é lançada verticalmente para cima a 6 m/s da beira de um telhado a 40 m do chão. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Calcule a altura máxima hmax em relação ao chão.
Um bloco de 20 kg desliza para baixo em um plano inclinado a 40° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,1. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do bloco ao longo do plano.
Dois blocos sobre um piso horizontal estão ligados por um fio horizontal leve. Uma força horizontal de 125 N puxa o bloco da frente, de 5 kg; o bloco de 7 kg é rebocado atrás. O coeficiente de atrito cinético é 0,2 para os dois blocos. Use g = 9,81 m/s². Encontre a tração T no fio de ligação.
Uma bola é lançada a partir do chão plano a 34 m/s e deve cair a 65 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre o menor dos dois ângulos de lançamento possíveis θ.
Uma bola é lançada a 13 m/s e 15° acima da horizontal do alto de um penhasco de 40 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Com que ângulo α abaixo da horizontal ela atinge o chão?
Um carro faz uma curva plana de raio 105 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,4. Use g = 9,81 m/s². Calcule a maior velocidade vmax com que o carro pode fazer a curva sem derrapar.
Uma bola presa a um fio de 0,7 m de comprimento gira em um círculo vertical. Use g = 9,81 m/s². Qual é a menor velocidade vmin no topo para a qual o fio ainda permanece esticado?
Um bloco desliza a partir do repouso por uma rampa a 45° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,2. Encontre sua velocidade v depois de deslizar 4 m ao longo da rampa.
Um bloco de 10 kg é solto do repouso na altura 3,5 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 4 m (μ = 0,15) e depois encontra uma mola (k = 5000 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a compressão máxima x da mola.
Um carro de 1500 kg a 13 m/s colide com um carro parado de 1800 kg e os dois ficam presos um ao outro. Que porcentagem ΔK/K da energia cinética inicial é perdida?
Uma bola de 0,25 kg atinge uma parede a 23 m/s e volta em linha reta a 7 m/s. O contato dura 10 ms. Calcule o módulo do impulso J que a parede aplica à bola.
Um motor fornece um torque de 40 N·m a 1400 rpm. Encontre a sua potência de saída P em kW.
Um corpo (aro fino) parte do repouso e rola sem deslizar por um plano inclinado de 15° em relação à horizontal. Use g = 9,81 m/s². Seu raio é 0,2 m. Encontre sua velocidade angular ω depois de rolar 7,5 m ao longo do plano.
Um motor de 1,1 kW girando a 1500 rpm aciona um pinhão com 25 dentes, que engrena com uma engrenagem de 45 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 98%. Calcule o torque de saída T2 no eixo da engrenagem.
Em um trem de engrenagens composto, a engrenagem A (12 dentes), no eixo de entrada girando a 1440 rpm, aciona a engrenagem B (18 dentes). A engrenagem C (15 dentes) está fixada no mesmo eixo que B e aciona a engrenagem D (40 dentes) no eixo de saída. Calcule a rotação de saída nout.
Uma massa de 2,1 kg presa a uma mola com k = 450 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 12 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 7 cm do equilíbrio.
Uma massa de 0,3 kg presa a uma mola com k = 320 N/m é deslocada 12 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule sua velocidade máxima vmax.
Uma massa de 20 kg sobre uma mola com rigidez de 5 kN/m tem um amortecedor viscoso que dá um fator de amortecimento de 0,5. Encontre a frequência natural amortecida fd da sua vibração livre em Hz.
Uma massa de 40 kg está pendurada na mola k₃ = 60 kN/m. O topo de k₃ está preso a uma barra rígida que está pendurada em duas molas lado a lado, k₁ = 60 kN/m e k₂ = 10 kN/m; a barra permanece nivelada. Despreze o amortecimento e as massas das molas e da barra. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: d = 105,1 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Nesse momento a viatura se move a 2v = 34 m/s.
Resposta: hmax = 41,83 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: a = 5,554 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Para baixo ao longo do plano é positivo.
Resposta: T = 72,92 N
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Com o mesmo μ nos dois blocos, o atrito sai da conta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Resposta: θ = 16,74 °
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A outra solução é 90° − θ = 73,26°.
Resposta: α = 66,01 °
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Energia, ou v² = v₀² + 2as na direção vertical.
Resposta: vmax = 20,3 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: vmin = 2,62 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: v = 6,663 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
O bloco desce uma altura d·sin θ enquanto o atrito remove μmg·cos θ·d. A massa se cancela.
Resposta: x = 33,73 cm
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: ΔK/K = 54,55 %
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
A energia perdida vira deformação, calor e som.
Resposta: J = 7,5 N·s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: P = 5,864 kW
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
Resposta: ω = 21,82 rad/s
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
Rolamento sem deslizamento: ω = v/r, e o atrito não realiza trabalho no ponto de contato.
Resposta: T2 = 12,35 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: nout = 360 rpm
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
relação total = 4 : 1
Resposta: v = 1,427 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: vmax = 3,919 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: fd = 2,179 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: fn = 4,523 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Só k1 e k2 estão em paralelo. Esse par está em série com k3, então combine-os pelos inversos.
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