Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 30 exercícios, com soluções completas no final.
A viga em balanço está engastada na parede em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w da parede até 2 m e uma carga concentrada P a 2 m da parede. Encontre a reação vertical RA na parede.
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 4 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 1,5 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 2,5 m até a extremidade livre em 6 m. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.
Use o método dos nós para encontrar a força FBC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
Exatamente um membro desta treliça não suporta força sob estas cargas. Qual é o membro de força nula? Clique nele no diagrama.
Encontre o esforço cortante Vx na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.
Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1 m de A. Encontre a deflexão δB na extremidade livre B.
Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.
Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.
Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 95 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.
Encontre o momento de inércia Ix da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.
A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 10 kN·m. Encontre a tensão de flexão σbase na borda inferior.
Para o perfil de solo mostrado, encontre a tensão vertical efetiva σ′ no ponto X.
Para o perfil de solo mostrado, encontre a tensão vertical total σ no ponto X.
Uma camada de argila pré-adensada com 2,5 m de espessura tem Cc = 0,25, Cr = 0,03 e e₀ = 0,9. Na metade da sua profundidade a tensão vertical efetiva é 80 kPa e a tensão de pré-adensamento é 140 kPa. Um novo edifício acrescenta 190 kPa de tensão vertical na metade da profundidade. Encontre o recalque por adensamento primário S em mm.
Em um ensaio de adensamento em laboratório (oedômetro), um corpo de prova de argila com 25 mm de espessura, drenado no topo e na base, atinge 50% de adensamento em 15 min. Em campo, a mesma argila forma uma camada de 9 m de espessura. Ela está entre duas camadas de areia, então a água drena pelo topo e pela base. Quantos dias t a camada em campo leva para atingir 50% de adensamento?
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
Água escoa a 2 L/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 150 L/s?
Um canal retangular de alvenaria de tijolos tem 1,5 m de largura. A água escoa uniformemente com 2,1 m de profundidade. n de Manning = 0,015 e a declividade do fundo é S = 0,0015. Encontre a vazão Q em m³/s.
Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 200 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 1 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).
Uma bomba com rendimento de 75% fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 54 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo Pshaft necessária, em kW.
Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 6 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 4 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 400 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €20 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 2% ao ano para sempre. O retorno exigido é 5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
Um empréstimo de €30 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 3 anos a 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €9 000, €13 000, €7 000, €11 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €50 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €8 000 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 7. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,5821. Encontre z com duas casas decimais.
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,02 mm e desvio padrão 0,01 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,01 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
Resposta: RA = 84 kN
Equilíbrio de balanços: um engaste pode empurrar para cima e também impedir a rotação, então dá uma reação vertical RA e um momento de reação MA. ΣFy = 0 dá RA, e os momentos em relação à parede dão MA = Σ(carga × distância até a parede). Uma carga distribuída atua como sua resultante no centroide do diagrama de carga.
Resposta: RA = 38 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resposta: FBC = −3,125 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
Resposta: membro CG
Membros de força nula: em um nó, as forças devem se equilibrar em todas as direções. Se um nó não tem carga nem apoio, e dois de seus três membros estão alinhados, então o equilíbrio na direção perpendicular a essa linha envolve apenas o terceiro membro, e portanto sua força é zero. Se apenas dois membros se encontram em um nó sem carga e não estão alinhados, ambos são nulos.
BC e CD estão em uma mesma reta e o nó não tem carga. Equilibrar as forças na direção perpendicular a essa reta deixa apenas CG.
Resolver todos os nós dá estas forças nos membros (T = tração, C = compressão).
Resposta: Vx = −12 kN
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Equilíbrio da viga inteira.
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
Resposta: E (x = 8 m)
Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.
Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.
Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.
Resposta: δB = 1,035 mm
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).
Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.
Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.
Resposta: Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).
Resposta: Pcr = 36,85 kN
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.
Resposta: d = 101,4 mm
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Verificação: a esbeltez KL/r é 236,6, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.
Resposta: Ix = 8,408 × 10⁶ mm⁴
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Meça todo y a partir da borda inferior.
Resposta: σbase = 108,7 MPa
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Meça todo y a partir da borda inferior.
A borda inferior está a ȳ do eixo.
Resposta: σ′ = 34,38 kPa
Tensão efetiva (Terzaghi): o esqueleto do solo suporta σ′ = σ − u. A tensão total σ é o peso de tudo acima do ponto, Σγ·h, usando o peso específico seco acima do lençol freático e o saturado abaixo dele. Abaixo do lençol freático a poropressão é hidrostática: u = γw·(profundidade abaixo do lençol freático).
Some o peso de cada faixa de solo acima de X. Acima do lençol freático use o peso específico seco, abaixo o saturado.
A pressão da água cresce com a profundidade abaixo do lençol freático.
Resposta: σ = 122,5 kPa
Tensão efetiva (Terzaghi): o esqueleto do solo suporta σ′ = σ − u. A tensão total σ é o peso de tudo acima do ponto, Σγ·h, usando o peso específico seco acima do lençol freático e o saturado abaixo dele. Abaixo do lençol freático a poropressão é hidrostática: u = γw·(profundidade abaixo do lençol freático).
Some o peso de cada faixa de solo acima de X. Acima do lençol freático use o peso específico seco, abaixo o saturado.
Resposta: S = 103,4 mm
Adensamento primário de uma camada de argila de espessura H, usando a tensão efetiva no meio da camada: σ′f = σ′0 + Δσ. Argila normalmente adensada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Uma argila pré-adensada se recomprime segundo Cr até a tensão de pré-adensamento σ′p e só segue Cc além dela. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, em que o caminho de drenagem Hdr é H/2 quando a água pode sair pelo topo e pela base, e H quando só um lado drena.
Recompressão até σ′p, compressão virgem além dela.
Resposta: t = 1350 dias
Adensamento primário de uma camada de argila de espessura H, usando a tensão efetiva no meio da camada: σ′f = σ′0 + Δσ. Argila normalmente adensada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Uma argila pré-adensada se recomprime segundo Cr até a tensão de pré-adensamento σ′p e só segue Cc além dela. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, em que o caminho de drenagem Hdr é H/2 quando a água pode sair pelo topo e pela base, e H quando só um lado drena.
t = Tv·Hdr²/cv com os mesmos T_v e cv no laboratório e em campo.
Resposta: F = 206 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Resposta: F = 30,17 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Resposta: hf = 16,92 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Resposta: Δz = 4,95 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Resposta: Q = 5,477 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Resposta: S = 0,009175 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Isso é um desnível de 9,175 m por quilômetro.
Resposta: Pshaft = 105,9 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Resposta: H = 55,07 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
Resposta: PV = 666667 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Resposta: I = 2856 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Resposta: NPV = 5459 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
Resposta: NPV = −6704 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
Resposta: z = 0,81
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Encontre 0,7910 dentro da tabela e leia z.
Resposta: P = 0,9207
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
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