Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 16 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 50 mm. A pressão no trecho estreito é 210 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 16 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 210 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 200 mm, garganta de 100 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 250 mm. O coeficiente de descarga é 0,97. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmΔh = 250 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 120 L/s em uma tubulação de 1000 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 120 L/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,015) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 60% fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 74 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 15 L/sH = 74 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 24 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 65%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 50 L/sΔz = 24 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5η = 65%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal retangular de concreto sem acabamento tem 1 m de largura. A água escoa uniformemente com 1,9 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1 my = 1,9 mn = 0,014S = 0,005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 450 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 1,2 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 176,6 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Resposta

F = 176,6 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,633 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·4 = 123,6 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 1,333/(2,5·4) = 2,633 m

Resposta

y_cp = 2,633 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 241,1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,016/0,007854 = 2,037 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,016/0,001963 = 8,149 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 210 + ½·1000·(8,149² − 2,037²)/1000 = 210 + 31,13 = 241,1 kPa

Resposta

p₁ = 241,1 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 61,86 L/s

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,25 = 30902 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 100/200 = 0,5

v₂ = √(2·30902/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,119 m/s

Vazão real

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,007854·8,119 = 0,06186 m³/s = 61,86 L/s

Resposta

Q = 61,86 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 10,77 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 1,698²/(2·9,81) = 0,1469 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,3)·1,698²/(2·9,81) = 10,77 m

Resposta

h_f = 10,77 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 7,793 m

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 15 + 3,1)·0,408 = 7,793 m

Resposta

H = 7,793 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 18,15 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·74 = 10,89 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 10,89/0,6 = 18,15 kW

Resposta

P_shaft = 18,15 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 28,89 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0,408 = 14,28 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 24 + 14,28 = 38,28 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·38,28/0,65 = 28,89 kW

Resposta

P_shaft = 28,89 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 5,174 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = b·y = 1·1,9 = 1,9 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,9 = 4,8 m

R = A/P = 0,3958 m

Velocidade

V = (1/0,014)·0,3958^2/3·0,005^1/2 = 2,723 m/s

Vazão

Q = A·V = 1,9·2,723 = 5,174 m³/s

Resposta

Q = 5,174 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,004481 m/m

Raio hidráulico

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Resolver Manning para S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,233)² = 0,004481

Resposta

S = 0,004481

Isso é um desnível de 4,481 m por quilômetro.

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