Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Hidráulica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Escoamento em canais abertos (Manning)
- Equação de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Vazão
- Q = A·V
- Raio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Retângulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapézio (talude z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circular, cheio ou meio cheio
- R = D/4
- Declividade necessária
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 150 mm e diâmetro da garganta de 75 mm. A pressão na entrada é 33 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 33 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 200 mm para 100 mm enquanto sobe 4 m. Na seção 1 a pressão é 310 kPa e a velocidade é 1,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 310 kPav1 = 1,75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,6 m/s em uma tubulação horizontal de 150 m de comprimento e diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.
V = 2,6 m/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. A superfície da água do reservatório superior está 16 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 16 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 68 m enquanto seu eixo absorve 38,1 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 40 L/sH = 68 mPshaft = 38,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 31 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 20 L/sΔz = 31 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8
H = m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média
Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 1 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 0,7 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,005. Encontre a vazão Q em m³/s.
b = 1 my = 0,7 mz = 3n = 0,014S = 0,005
Q = m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil
Um canal trapezoidal de terra revestida de grama com largura de fundo de 6 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical) deve transportar 66 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 2,1 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).
Q = 66 m³/sb = 6 my = 2,1 mz = 3n = 0,03
S = m/m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 119,6 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·3,75 = 119,6 kN
Resposta
F = 119,6 kN
2.Força hidrostática
Resposta: F = 275,2 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,25·7,5 = 275,2 kN
Resposta
F = 275,2 kN
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: Q = 37,07 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidade
v1 = v2·(75/150)² = 0,25·v2
Bernoulli entre a entrada e a garganta
O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·33000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,39 m/s
v1 = 2,098 m/s
Vazão
Q = A2·v2 = 0,004418·8,39 = 0,03707 m³/s = 37,07 L/s
Resposta
Q = 37,07 L/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 247,8 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(200/100)² = 7 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 310 + (−22,97) − 39,24 = 247,8 kPa
Resposta
p2 = 247,8 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Δp = 101,4 kPa
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Perda de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,15)·2,6²/(2·9,81) = 10,34 m
Queda de pressão
A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·10,34 = 101400 Pa = 101,4 kPa
Resposta
Δp = 101,4 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 98,24 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,025·200/0,2 = 25
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
16 = (25 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·16/32,1) = 3,127 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 3,127·0,03142 = 0,09824 m³/s = 98,24 L/s
Resposta
Q = 98,24 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 70,03 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·68 = 26,68 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 26,68/38,1 = 70,03%
Resposta
η = 70,03%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 46,86 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,3305 = 15,86 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.
H = Δz + hL = 31 + 15,86 = 46,86 m
Resposta
H = 46,86 m
9.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: Q = 5,948 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (1 + 3·0,7)·0,7 = 2,17 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 5,427 m
R = A/P = 0,3998 m
Velocidade
V = (1/0,014)·0,39982/3·0,0051/2 = 2,741 m/s
Vazão
Q = A·V = 2,17·2,741 = 5,948 m³/s
Resposta
Q = 5,948 m³/s
10.Escoamento em canais abertos (Manning)
Resposta: S = 0,003979 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2,1)·2,1 = 25,83 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,1·√(1 + 3²) = 19,28 m
R = A/P = 1,34 m
Resolver Manning para S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·66/(25,83·1,215) = 0,06308
S = 0,06308² = 0,003979
Resposta
S = 0,003979
Isso é um desnível de 3,979 m por quilômetro.
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