Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 25 mm. O nível da água é mantido 2 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,64. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 2 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 75 mm enquanto sobe 5 m. Na seção 1 a pressão é 260 kPa e a velocidade é 0,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 260 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,6 m/s em uma tubulação horizontal de 800 m de comprimento e diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,6 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 8 L/s?

Q = 8 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 72% fornece 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 20 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 50 L/sH = 20 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 13 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 82%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 20 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 6η = 82%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 3 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 2 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,003. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 3 my = 2 mz = 1n = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 450 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 1,2 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 128,8 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·7,5 = 128,8 kN

Resposta

F = 128,8 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,8 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 4,5/(2,5·6) = 2,8 m

Resposta

y_cp = 2,8 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 1,968 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,0004909·6,264 = 0,001968 m³/s = 1,968 L/s

Resposta

Q = 1,968 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 210,7 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/75)² = 0,8889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 0,8889²)/1000 = −0,2701 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−0,2701) − 49,05 = 210,7 kPa

Resposta

p₂ = 210,7 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 122,9 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,25)·1,6²/(2·9,81) = 12,53 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·12,53 = 122880 Pa = 122,9 kPa

Resposta

Δp = 122,9 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 1,571 m

Velocidade

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Perda de carga total

h_f = 25·0,05288 = 1,322 m

h_m = 4,7·0,05288 = 0,2485 m

Δz = h_f + h_m = 1,571 m

Resposta

Δz = 1,571 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 13,63 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·20 = 9,81 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 9,81/0,72 = 13,63 kW

Resposta

P_shaft = 13,63 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 6,55 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 6)·0,3305 = 14,38 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 13 + 14,38 = 27,38 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·27,38/0,82 = 6,55 kW

Resposta

P_shaft = 6,55 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 43,07 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·2)·2 = 10 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2·√(1 + 1²) = 8,657 m

R = A/P = 1,155 m

Velocidade

V = (1/0,014)·1,155^2/3·0,003^1/2 = 4,307 m/s

Vazão

Q = A·V = 10·4,307 = 43,07 m³/s

Resposta

Q = 43,07 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,004481 m/m

Raio hidráulico

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Resolver Manning para S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,233)² = 0,004481

Resposta

S = 0,004481

Isso é um desnível de 4,481 m por quilômetro.

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