Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 100 mm. No trecho largo a pressão é 360 kPa e a velocidade é 3 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 360 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 100 mm enquanto sobe 6 m. Na seção 1 a pressão é 120 kPa e a velocidade é 2,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 120 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,8 m/s em uma tubulação horizontal de 300 m de comprimento e diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2,8 m/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,015) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 40 m. O rendimento da bomba é 75% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 92%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 30 L/sH = 40 mη_pump = 75%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 6 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 300 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 30 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 6p_tank = 300 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos tem largura de fundo de 3,5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,9 m de profundidade. n de Manning = 0,015 e a declividade do fundo é S = 0,005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 3,5 my = 1,9 mz = 1n = 0,015S = 0,005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 300 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 0,75 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 110,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3 = 110,4 kN

Resposta

F = 110,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 92,26 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,75·2,25 = 92,26 kN

Resposta

F = 92,26 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 341,7 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/100)² = 6,75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 360 + (−18,28) = 341,7 kPa

Resposta

p₂ = 341,7 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 48,44 kPa

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(150/100)² = 5,625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 5,625²)/1000 = −12,7 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 120 + (−12,7) − 58,86 = 48,44 kPa

Resposta

p₂ = 48,44 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 70,56 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,3)·2,8²/(2·9,81) = 7,193 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·7,193 = 70560 Pa = 70,56 kPa

Resposta

Δp = 70,56 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 5,001 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 22,5 + 3,4)·0,1859 = 5,001 m

Resposta

H = 5,001 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 17,06 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·40 = 11,77 kW

Potência no eixo

P_shaft = 11,77/0,75 = 15,7 kW

Potência elétrica

P_el = 15,7/0,92 = 17,06 kW

Resposta

P_el = 17,06 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 47,26 m

Velocidade

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 6)·0,1469 = 10,67 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 30,58 + 10,67 = 47,26 m

Resposta

H = 47,26 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 53,28 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·1,9)·1,9 = 10,26 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,9·√(1 + 1²) = 8,874 m

R = A/P = 1,156 m

Velocidade

V = (1/0,015)·1,156^2/3·0,005^1/2 = 5,193 m/s

Vazão

Q = A·V = 10,26·5,193 = 53,28 m³/s

Resposta

Q = 53,28 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,003006 m/m

Raio hidráulico

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Resolver Manning para S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1778)² = 0,003006

Resposta

S = 0,003006

Isso é um desnível de 3,006 m por quilômetro.

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