Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 110 kPa e a velocidade é 2,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 110 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 170 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 50 mm, 2 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 170 kPa (manométrica)h = 2 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 2 m/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 75 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 2 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 64 m enquanto seu eixo absorve 14,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 20 L/sH = 64 mP_shaft = 14,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 16 m mais alta. A tubulação tem 600 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 65%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 60 L/sΔz = 16 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de cascalho tem largura de fundo de 2,5 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 0,8 m de profundidade. n de Manning = 0,025 e a declividade do fundo é S = 0,005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 2,5 my = 0,8 mz = 2n = 0,025S = 0,005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de concreto acabado com largura de fundo de 4 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical) deve transportar 47 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 2,1 m. n de Manning = 0,012. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 47 m³/sb = 4 my = 2,1 mz = 3n = 0,012

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 58,86 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Resposta

F = 58,86 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 20,11 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1·2 = 20,11 kN

Resposta

F = 20,11 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 72,03 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(100/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−37,97) = 72,03 kPa

Resposta

p₂ = 72,03 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 38,24 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(170000/1000 + 9,81·2)) = 19,47 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001963·19,47 = 0,03824 m³/s = 38,24 L/s

Resposta

Q = 38,24 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 4,077 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,075)·2²/(2·9,81) = 4,077 m

Resposta

h_f = 4,077 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 3,985 m

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·400/0,3 = 26,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Perda de carga total

h_f = 26,67·0,102 = 2,72 m

h_m = 12,4·0,102 = 1,265 m

Δz = h_f + h_m = 3,985 m

Resposta

Δz = 3,985 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 84,84 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·64 = 12,56 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 12,56/14,8 = 84,84%

Resposta

η = 84,84%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 24,93 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0,1859 = 11,53 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 16 + 11,53 = 27,53 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·27,53/0,65 = 24,93 kW

Resposta

P_shaft = 24,93 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 6,15 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·0,8)·0,8 = 3,28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,8·√(1 + 2²) = 6,078 m

R = A/P = 0,5397 m

Velocidade

V = (1/0,025)·0,5397^2/3·0,005^1/2 = 1,875 m/s

Vazão

Q = A·V = 3,28·1,875 = 6,15 m³/s

Resposta

Q = 6,15 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0005041 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·2,1)·2,1 = 21,63 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2,1·√(1 + 3²) = 17,28 m

R = A/P = 1,252 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·47/(21,63·1,161) = 0,02245

S = 0,02245² = 0,0005041

Resposta

S = 0,0005041

Isso é um desnível de 0,5041 m por quilômetro.

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