Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 25 mm. O nível da água é mantido 3,5 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,65. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 3,5 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 50 mm enquanto sobe 3 m. Na seção 1 a pressão é 280 kPa e a velocidade é 2,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 280 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 3 L/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 75 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 3 L/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 80 m enquanto seu eixo absorve 52,3 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 50 L/sH = 80 mP_shaft = 52,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 13 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 78%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8η = 78%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 2,5 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 0,5 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,003. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 2,5 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de concreto acabado com 6 m de largura deve transportar 27 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,3 m. n de Manning = 0,012. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 27 m³/sb = 6 my = 1,3 mn = 0,012

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 88,29 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Resposta

F = 88,29 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 4,373 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·7,5 = 312,7 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,25 + 3,906/(4,25·7,5) = 4,373 m

Resposta

y_cp = 4,373 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 2,644 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,0004909·8,287 = 0,002644 m³/s = 2,644 L/s

Resposta

Q = 2,644 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 235,2 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/50)² = 6,188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−15,36) − 29,43 = 235,2 kPa

Resposta

p₂ = 235,2 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 7,521 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,003/0,004418 = 0,6791 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,075)·0,6791²/(2·9,81) = 7,521 m

Resposta

h_f = 7,521 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 11,27 m

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·200/0,2 = 22

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Perda de carga total

h_f = 22·0,3305 = 7,271 m

h_m = 12,1·0,3305 = 3,999 m

Δz = h_f + h_m = 11,27 m

Resposta

Δz = 11,27 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 75,03 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·80 = 39,24 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 39,24/52,3 = 75,03%

Resposta

η = 75,03%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 17,07 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 8)·0,408 = 14,15 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 13 + 14,15 = 27,15 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·27,15/0,78 = 17,07 kW

Resposta

P_shaft = 17,07 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 3,322 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·0,5)·0,5 = 1,625 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 4,303 m

R = A/P = 0,3777 m

Velocidade

V = (1/0,014)·0,3777^2/3·0,003^1/2 = 2,044 m/s

Vazão

Q = A·V = 1,625·2,044 = 3,322 m³/s

Resposta

Q = 3,322 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,001965 m/m

Geometria

A = b·y = 6·1,3 = 7,8 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,3 = 8,6 m

R = A/P = 0,907 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·27/(7,8·0,937) = 0,04433

S = 0,04433² = 0,001965

Resposta

S = 0,001965

Isso é um desnível de 1,965 m por quilômetro.

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