Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em um túnel de vento indica uma diferença de 50 Pa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. A massa específica do ar é 1,2 kg/m³. Encontre a velocidade do ar v.

p₀ − p = 50 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 40 mm enquanto sobe 9 m. Na seção 1 a pressão é 330 kPa e a velocidade é 1,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 330 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 6 L/s em uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 6 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 30 L/s?

Q = 30 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 65% fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 72 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 15 L/sH = 72 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 7 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 60 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal retangular de terra limpa tem 3,5 m de largura. A água escoa uniformemente com 1,4 m de profundidade. n de Manning = 0,022 e a declividade do fundo é S = 0,002. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 3,5 my = 1,4 mn = 0,022S = 0,002

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de terra limpa com largura de fundo de 6 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical) deve transportar 4,8 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,5 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 4,8 m³/sb = 6 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 117,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Resposta

F = 117,7 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 56,65 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,75·3,75 = 56,65 kN

Resposta

F = 56,65 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 9,129 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·50/1,2) = 9,129 m/s

Resposta

v = 9,129 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 212 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(100/40)² = 7,813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 7,813²)/1000 = −29,74 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−29,74) − 88,29 = 212 kPa

Resposta

p₂ = 212 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 0,8924 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,006/0,007854 = 0,7639 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,7639²/(2·9,81) = 0,02975 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,1)·0,7639²/(2·9,81) = 0,8924 m

Resposta

h_f = 0,8924 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 2,365 m

Velocidade

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·100/0,15 = 12

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Perda de carga total

h_f = 12·0,1469 = 1,763 m

h_m = 4,1·0,1469 = 0,6023 m

Δz = h_f + h_m = 2,365 m

Resposta

Δz = 2,365 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 16,3 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·72 = 10,59 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 10,59/0,65 = 16,3 kW

Resposta

P_shaft = 16,3 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 19,73 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (62,5 + 6)·0,1859 = 12,73 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 7 + 12,73 = 19,73 m

Resposta

H = 19,73 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 8,424 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = b·y = 3,5·1,4 = 4,9 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1,4 = 6,3 m

R = A/P = 0,7778 m

Velocidade

V = (1/0,022)·0,7778^2/3·0,002^1/2 = 1,719 m/s

Vazão

Q = A·V = 4,9·1,719 = 8,424 m³/s

Resposta

Q = 8,424 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,002993 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·0,5)·0,5 = 3,375 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 7,803 m

R = A/P = 0,4325 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·4,8/(3,375·0,5719) = 0,05471

S = 0,05471² = 0,002993

Resposta

S = 0,002993

Isso é um desnível de 2,993 m por quilômetro.

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