Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 350 kPa e a velocidade é 2,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 350 kPav₁ = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 25 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 1 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 4,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 25 mmz_C = +1 mz₂ = −4,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,1 m/s em uma tubulação horizontal de 500 m de comprimento e diâmetro interno de 75 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2,1 m/sL = 500 mD = 75 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,022) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 10). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 75% fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 48 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 150 L/sH = 48 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 19 m mais alta. A tubulação tem 600 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 82%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 120 L/sΔz = 19 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal retangular de concreto sem acabamento tem 2 m de largura. A água escoa uniformemente com 0,8 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,0015. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 2 my = 0,8 mn = 0,014S = 0,0015

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de cascalho com largura de fundo de 1,5 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical) deve transportar 3,9 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1 m. n de Manning = 0,025. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 3,9 m³/sb = 1,5 my = 1 mz = 3n = 0,025

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 275,9 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·7,5 = 275,9 kN

Resposta

F = 275,9 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 103 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Resposta

F = 103 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 337,3 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(75/50)² = 5,625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 5,625²)/1000 = −12,7 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 350 + (−12,7) = 337,3 kPa

Resposta

p₂ = 337,3 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 4,612 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,0004909·9,396 = 0,004612 m³/s = 4,612 L/s

Resposta

Q = 4,612 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 294 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,075)·2,1²/(2·9,81) = 29,97 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·29,97 = 294000 Pa = 294 kPa

Resposta

Δp = 294 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 1,991 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·300/0,3 = 22

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 22 + 11,7)·0,05738 = 1,991 m

Resposta

H = 1,991 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 94,18 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·48 = 70,63 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 70,63/0,75 = 94,18 kW

Resposta

P_shaft = 94,18 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 57,01 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,3046 = 20,71 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 19 + 20,71 = 39,71 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·39,71/0,82 = 57,01 kW

Resposta

P_shaft = 57,01 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 2,578 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2·0,8 = 1,6 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0,8 = 3,6 m

R = A/P = 0,4444 m

Velocidade

V = (1/0,014)·0,4444^2/3·0,0015^1/2 = 1,611 m/s

Vazão

Q = A·V = 1,6·1,611 = 2,578 m³/s

Resposta

Q = 2,578 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0009816 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 3·1)·1 = 4,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1·√(1 + 3²) = 7,825 m

R = A/P = 0,5751 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·3,9/(4,5·0,6916) = 0,03133

S = 0,03133² = 0,0009816

Resposta

S = 0,0009816

Isso é um desnível de 0,9816 m por quilômetro.

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