Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 220 kPa e a velocidade é 0,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 220 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 50 mm enquanto sobe 10 m. Na seção 1 a pressão é 390 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 390 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 1,2 m/s em uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 1,2 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,015) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 10). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 14 m enquanto seu eixo absorve 5,3 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 30 L/sH = 14 mP_shaft = 5,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 9 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 200 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 60 L/sΔz = 9 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5p_tank = 200 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de cascalho tem largura de fundo de 5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,1 m de profundidade. n de Manning = 0,025 e a declividade do fundo é S = 0,0015. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 5 my = 1,1 mz = 1n = 0,025S = 0,0015

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de terra revestida de grama com largura de fundo de 5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 12 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,6 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 12 m³/sb = 5 my = 1,6 mz = 1n = 0,03

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 239,1 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN

Resposta

F = 239,1 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 1,4 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·4,5 = 55,18 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,25 + 0,8438/(1,25·4,5) = 1,4 m

Resposta

y_cp = 1,4 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 215,2 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−4,758) = 215,2 kPa

Resposta

p₂ = 215,2 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 287,3 kPa

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(75/50)² = 3,375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−4,57) − 98,1 = 287,3 kPa

Resposta

p₂ = 287,3 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 4,037 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,2)·1,2²/(2·9,81) = 4,037 m

Resposta

h_f = 4,037 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 5,694 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·100/0,2 = 7,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 7,5 + 11,1)·0,2905 = 5,694 m

Resposta

H = 5,694 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 77,74 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·14 = 4,12 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 4,12/5,3 = 77,74%

Resposta

η = 77,74%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 38,68 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 5)·0,1859 = 9,296 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 20,39 + 9,296 = 38,68 m

Resposta

H = 38,68 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 9,16 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1,1)·1,1 = 6,71 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,1·√(1 + 1²) = 8,111 m

R = A/P = 0,8272 m

Velocidade

V = (1/0,025)·0,8272^2/3·0,0015^1/2 = 1,365 m/s

Vazão

Q = A·V = 6,71·1,365 = 9,16 m³/s

Resposta

Q = 9,16 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,001013 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1,6)·1,6 = 10,56 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,6·√(1 + 1²) = 9,525 m

R = A/P = 1,109 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·12/(10,56·1,071) = 0,03183

S = 0,03183² = 0,001013

Resposta

S = 0,001013

Isso é um desnível de 1,013 m por quilômetro.

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