Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 37 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 75 mm. A pressão no trecho estreito é 50 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 37 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 50 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 32 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 0,5 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 3,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a pressão absoluta p_C no ponto C. A pressão atmosférica é 101,3 kPa.

d = 32 mmz_C = +0,5 mz₂ = −3,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,5 m/s em uma tubulação horizontal de 150 m de comprimento e diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2,5 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 35 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 35 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 10 m enquanto seu eixo absorve 20,4 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 150 L/sH = 10 mP_shaft = 20,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 14 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 300 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 120 L/sΔz = 14 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 4 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,4 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,0008. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 4 my = 1,4 mz = 1,5n = 0,014S = 0,0008

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de concreto sem acabamento com 2 m de largura deve transportar 4,6 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,1 m. n de Manning = 0,014. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 4,6 m³/sb = 2 my = 1,1 mn = 0,014

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 117,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Resposta

F = 117,7 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 4,519 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,5·3 = 166,9 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,25/(4,5·3) = 4,519 m

Resposta

y_cp = 4,519 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 82,88 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,037/0,01767 = 2,094 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,037/0,004418 = 8,375 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 50 + ½·1000·(8,375² − 2,094²)/1000 = 50 + 32,88 = 82,88 kPa

Resposta

p₁ = 82,88 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p_C = 62,06 kPa

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Bernoulli da superfície até C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(8,287²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 39,24 = 62,06 kPa

Resposta

p_C = 62,06 kPa

Se essa pressão cair até a pressão de vapor da água, o sifão para de funcionar.

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 43,75 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,3)·2,5²/(2·9,81) = 4,46 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,46 = 43750 Pa = 43,75 kPa

Resposta

Δp = 43,75 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 417,3 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

35 = (12 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·35/19,7) = 5,904 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 5,904·0,07069 = 0,4173 m³/s = 417,3 L/s

Resposta

Q = 417,3 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 72,13 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·10 = 14,71 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 14,71/20,4 = 72,13%

Resposta

η = 72,13%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 59,2 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,3046 = 14,62 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 14 + 30,58 + 14,62 = 59,2 m

Resposta

H = 59,2 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 16,6 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·1,4)·1,4 = 8,54 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,4·√(1 + 1,5²) = 9,048 m

R = A/P = 0,9439 m

Velocidade

V = (1/0,014)·0,9439^2/3·0,0008^1/2 = 1,944 m/s

Vazão

Q = A·V = 8,54·1,944 = 16,6 m³/s

Resposta

Q = 16,6 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,002029 m/m

Geometria

A = b·y = 2·1,1 = 2,2 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1,1 = 4,2 m

R = A/P = 0,5238 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·4,6/(2,2·0,6498) = 0,04505

S = 0,04505² = 0,002029

Resposta

S = 0,002029

Isso é um desnível de 2,029 m por quilômetro.

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