Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 6 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. A pressão no trecho estreito é 240 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 6 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 240 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 200 mm, garganta de 150 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 130 mm. O coeficiente de descarga é 0,96. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmΔh = 130 mmC_d = 0,96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,6 m/s em uma tubulação horizontal de 200 m de comprimento e diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,6 m/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,02) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 60 m enquanto seu eixo absorve 8,2 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 10 L/sH = 60 mP_shaft = 8,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 12 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 75 L/sΔz = 12 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto acabado tem largura de fundo de 5,5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,6 m de profundidade. n de Manning = 0,012 e a declividade do fundo é S = 0,0008. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 5,5 my = 1,6 mz = 1n = 0,012S = 0,0008

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 200 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 1 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 264,9 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN

Resposta

F = 264,9 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 21,58 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·1 = 21,58 kN

Resposta

F = 21,58 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 240,6 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,006/0,007854 = 0,7639 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,006/0,004418 = 1,358 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 240 + ½·1000·(1,358² − 0,7639²)/1000 = 240 + 0,6304 = 240,6 kPa

Resposta

p₁ = 240,6 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 116,3 L/s

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,13 = 16069 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 150/200 = 0,75

v₂ = √(2·16069/(1000·(1 − 0,3164))) = 6,857 m/s

Vazão real

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,96·0,01767·6,857 = 0,1163 m³/s = 116,3 L/s

Resposta

Q = 116,3 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 17,07 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,3)·1,6²/(2·9,81) = 1,74 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,74 = 17067 Pa = 17,07 kPa

Resposta

Δp = 17,07 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 1,628 m

Velocidade

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 15 + 3,7)·0,08263 = 1,628 m

Resposta

H = 1,628 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 71,78 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·60 = 5,886 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 5,886/8,2 = 71,78%

Resposta

η = 71,78%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 16,5 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 8)·0,2905 = 4,503 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 12 + 4,503 = 16,5 m

Resposta

H = 16,5 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 29,1 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·1,6)·1,6 = 11,36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,6·√(1 + 1²) = 10,03 m

R = A/P = 1,133 m

Velocidade

V = (1/0,012)·1,133^2/3·0,0008^1/2 = 2,562 m/s

Vazão

Q = A·V = 11,36·2,562 = 29,1 m³/s

Resposta

Q = 29,1 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,009175 m/m

Raio hidráulico

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Resolver Manning para S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,1357)² = 0,009175

Resposta

S = 0,009175

Isso é um desnível de 9,175 m por quilômetro.

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