Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 50 mm. O nível da água é mantido 3 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,65. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 50 mmh = 3 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 50 mm e pressão manométrica de 40 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 20 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 40 kPa (manométrica)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,1 m/s em uma tubulação horizontal de 1000 m de comprimento e diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2,1 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 32 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 32 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 14 m enquanto seu eixo absorve 7,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 40 L/sH = 14 mP_shaft = 7,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 65%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 60 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5η = 65%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal retangular de concreto acabado tem 3,5 m de largura. A água escoa uniformemente com 1,2 m de profundidade. n de Manning = 0,012 e a declividade do fundo é S = 0,005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 3,5 my = 1,2 mn = 0,012S = 0,005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de terra limpa com 2,5 m de largura deve transportar 11 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,9 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 11 m³/sb = 2,5 my = 1,9 mn = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 121,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Resposta

F = 121,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 88,29 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·6 = 88,29 kN

Resposta

F = 88,29 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 9,792 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,001963·7,672 = 0,009792 m³/s = 9,792 L/s

Resposta

Q = 9,792 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 4,185 m

Velocidade de saída

β = 20/50 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9744)) = 9,061 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 9,061²/(2·9,81) = 4,185 m

Resposta

H = 4,185 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 970,2 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,05)·2,1²/(2·9,81) = 98,9 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·98,9 = 970200 Pa = 970,2 kPa

Resposta

Δp = 970,2 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 293,6 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·400/0,3 = 24

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

32 = (24 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·32/36,4) = 4,153 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 4,153·0,07069 = 0,2936 m³/s = 293,6 L/s

Resposta

Q = 293,6 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 70,43 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·14 = 5,494 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 5,494/7,8 = 70,43%

Resposta

η = 70,43%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 5,493 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0,07615 = 1,066 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 5 + 1,066 = 6,066 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·6,066/0,65 = 5,493 kW

Resposta

P_shaft = 5,493 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 19,73 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = b·y = 3,5·1,2 = 4,2 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1,2 = 5,9 m

R = A/P = 0,7119 m

Velocidade

V = (1/0,012)·0,7119^2/3·0,005^1/2 = 4,698 m/s

Vazão

Q = A·V = 4,2·4,698 = 19,73 m³/s

Resposta

Q = 19,73 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,003782 m/m

Geometria

A = b·y = 2,5·1,9 = 4,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,9 = 6,3 m

R = A/P = 0,754 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·11/(4,75·0,8284) = 0,0615

S = 0,0615² = 0,003782

Resposta

S = 0,003782

Isso é um desnível de 3,782 m por quilômetro.

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