Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 150 mm e diâmetro da garganta de 75 mm. A pressão na entrada é 36 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 36 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 100 mm, garganta de 50 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 150 mm. O coeficiente de descarga é 0,98. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 150 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1 m/s em uma tubulação horizontal de 500 m de comprimento e diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. A superfície da água do reservatório superior está 6 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 6 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 26 m enquanto seu eixo absorve 24,9 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 80 L/sH = 26 mP_shaft = 24,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 11 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 100 L/sΔz = 11 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 6

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto acabado tem largura de fundo de 1,5 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,3 m de profundidade. n de Manning = 0,012 e a declividade do fundo é S = 0,002. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1,5 my = 1,3 mz = 3n = 0,012S = 0,002

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de terra revestida de grama com 6 m de largura deve transportar 7,4 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,8 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 7,4 m³/sb = 6 my = 0,8 mn = 0,03

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 55,18 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·4,5 = 55,18 kN

Resposta

F = 55,18 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 3,25 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·4,5 = 132,4 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 3,375/(3·4,5) = 3,25 m

Resposta

y_cp = 3,25 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 38,72 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·36000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,764 m/s

v₁ = 2,191 m/s

Vazão

Q = A₂·v₂ = 0,004418·8,764 = 0,03872 m³/s = 38,72 L/s

Resposta

Q = 38,72 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 12,1 L/s

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,15 = 18541 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 50/100 = 0,5

v₂ = √(2·18541/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,289 m/s

Vazão real

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,001963·6,289 = 0,0121 m³/s = 12,1 L/s

Resposta

Q = 12,1 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 46,67 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,15)·1²/(2·9,81) = 4,757 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,757 = 46667 Pa = 46,67 kPa

Resposta

Δp = 46,67 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 82,43 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·100/0,2 = 10

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

6 = (10 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·6/17,1) = 2,624 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 2,624·0,03142 = 0,08243 m³/s = 82,43 L/s

Resposta

Q = 82,43 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 81,95 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·26 = 20,4 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 20,4/24,9 = 81,95%

Resposta

η = 81,95%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 21,58 m

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 6)·0,2115 = 10,58 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 11 + 10,58 = 21,58 m

Resposta

H = 21,58 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 21,06 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 3·1,3)·1,3 = 7,02 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,3·√(1 + 3²) = 9,722 m

R = A/P = 0,7221 m

Velocidade

V = (1/0,012)·0,7221^2/3·0,002^1/2 = 3 m/s

Vazão

Q = A·V = 7,02·3 = 21,06 m³/s

Resposta

Q = 21,06 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,003947 m/m

Geometria

A = b·y = 6·0,8 = 4,8 m²

P = b + 2y = 6 + 2·0,8 = 7,6 m

R = A/P = 0,6316 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·7,4/(4,8·0,7361) = 0,06283

S = 0,06283² = 0,003947

Resposta

S = 0,003947

Isso é um desnível de 3,947 m por quilômetro.

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