Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 30 mm. O nível da água é mantido 6 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,64. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 6 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 40 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 3 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 1,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 40 mmz_C = +3 mz₂ = −1,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 0,9 m/s em uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 0,9 m/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022. A superfície da água do reservatório superior está 28 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 28 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m. O rendimento da bomba é 70% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 90%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 20 L/sH = 18 mη_pump = 70%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 10 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 900 mm escoa a meia seção. n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,0008. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 900 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de concreto sem acabamento com 4,5 m de largura deve transportar 24 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,9 m. n de Manning = 0,014. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 24 m³/sb = 4,5 my = 1,9 mn = 0,014

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 121,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Resposta

F = 121,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 3,111 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·3 = 90,5 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1/(3·3) = 3,111 m

Resposta

y_cp = 3,111 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 4,908 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·6) = 10,85 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,0007069·10,85 = 0,004908 m³/s = 4,908 L/s

Resposta

Q = 4,908 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 6,817 L/s

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,001257·5,425 = 0,006817 m³/s = 6,817 L/s

Resposta

Q = 6,817 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 1,032 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(150/0,15)·0,9²/(2·9,81) = 1,032 m

Resposta

h_f = 1,032 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 35,83 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·100/0,1 = 22

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

28 = (22 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·28/26,4) = 4,562 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 4,562·0,007854 = 0,03583 m³/s = 35,83 L/s

Resposta

Q = 35,83 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 5,606 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·18 = 3,532 kW

Potência no eixo

P_shaft = 3,532/0,7 = 5,045 kW

Potência elétrica

P_el = 5,045/0,9 = 5,606 kW

Resposta

P_el = 5,606 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 26,19 m

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 5)·0,3305 = 16,19 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 10 + 16,19 = 26,19 m

Resposta

H = 26,19 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 0,256 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,225^2/3·0,0008^1/2 = 0,8049 m/s

Vazão

Q = A·V = 0,3181·0,8049 = 0,256 m³/s

Resposta

Q = 0,256 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,001484 m/m

Geometria

A = b·y = 4,5·1,9 = 8,55 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,9 = 8,3 m

R = A/P = 1,03 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·24/(8,55·1,02) = 0,03853

S = 0,03853² = 0,001484

Resposta

S = 0,001484

Isso é um desnível de 1,484 m por quilômetro.

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