Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 200 mm e diâmetro da garganta de 150 mm. A pressão na entrada é 32 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 32 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 50 mm enquanto sobe 3 m. Na seção 1 a pressão é 370 kPa e a velocidade é 0,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 370 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 2,8 m/s em uma tubulação de 1000 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 2,8 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 60 m. O rendimento da bomba é 82% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 90%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 150 L/sH = 60 mη_pump = 82%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 15 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 65%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 100 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 6η = 65%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 1200 mm escoa exatamente cheia (como canal aberto, não sob pressão). n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,002. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de terra limpa com largura de fundo de 1,5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 11 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 2,2 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 11 m³/sb = 1,5 my = 2,2 mz = 1n = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 66,22 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1,5 = 66,22 kN

Resposta

F = 66,22 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,333 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,25·1,5 = 41,72 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,2813/(2,25·1,5) = 2,333 m

Resposta

y_cp = 2,333 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 171 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v₁ = v₂·(150/200)² = 0,5625·v₂

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·32000/(1000·(1 − 0,3164))) = 9,676 m/s

v₁ = 5,443 m/s

Vazão

Q = A₂·v₂ = 0,01767·9,676 = 0,171 m³/s = 171 L/s

Resposta

Q = 171 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 330,6 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−10) − 29,43 = 330,6 kPa

Resposta

p₂ = 330,6 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 49,95 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2,8²/(2·9,81) = 0,3996 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,2)·2,8²/(2·9,81) = 49,95 m

Resposta

h_f = 49,95 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 1,775 m

Velocidade

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Perda de carga total

h_f = 10·0,102 = 1,02 m

h_m = 7,4·0,102 = 0,7549 m

Δz = h_f + h_m = 1,775 m

Resposta

Δz = 1,775 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 119,6 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·60 = 88,29 kW

Potência no eixo

P_shaft = 88,29/0,82 = 107,7 kW

Potência elétrica

P_el = 107,7/0,9 = 119,6 kW

Resposta

P_el = 119,6 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 29,66 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 6)·0,2115 = 4,654 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 15 + 4,654 = 19,65 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·19,65/0,65 = 29,66 kW

Resposta

P_shaft = 29,66 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 1,744 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,002^1/2 = 1,542 m/s

Vazão

Q = A·V = 1,131·1,542 = 1,744 m³/s

Resposta

Q = 1,744 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0008239 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·2,2)·2,2 = 8,14 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·2,2·√(1 + 1²) = 7,723 m

R = A/P = 1,054 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·11/(8,14·1,036) = 0,0287

S = 0,0287² = 0,0008239

Resposta

S = 0,0008239

Isso é um desnível de 0,8239 m por quilômetro.

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