Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 20 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. A pressão no trecho estreito é 280 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 20 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 280 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 75 mm e pressão manométrica de 60 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 30 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 60 kPa (manométrica)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 10 L/s em uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 10 L/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,022) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 10). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 40 m enquanto seu eixo absorve 73,6 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 150 L/sH = 40 mP_shaft = 73,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 17 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 4 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 80%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 75 L/sΔz = 17 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 4η = 80%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 600 mm escoa exatamente cheia (como canal aberto, não sob pressão). n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,001. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de terra limpa com largura de fundo de 1 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 2,6 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,4 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 2,6 m³/sb = 1 my = 1,4 mz = 1n = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 101,2 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN

Resposta

F = 101,2 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,167 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·2 = 49,44 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0,6667/(2·2) = 2,167 m

Resposta

y_cp = 2,167 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 287 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,02/0,004418 = 4,527 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 280 + ½·1000·(4,527² − 2,546²)/1000 = 280 + 7,005 = 287 kPa

Resposta

p₁ = 287 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 6,277 m

Velocidade de saída

β = 30/75 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0,9744)) = 11,1 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 11,1²/(2·9,81) = 6,277 m

Resposta

H = 6,277 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 7,436 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,1)·1,273²/(2·9,81) = 7,436 m

Resposta

h_f = 7,436 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 14,16 m

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·150/0,15 = 22

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 22 + 11,7)·0,408 = 14,16 m

Resposta

H = 14,16 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 79,97 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·40 = 58,86 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 58,86/73,6 = 79,97%

Resposta

η = 79,97%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 20,71 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,2905 = 5,519 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 17 + 5,519 = 22,52 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·22,52/0,8 = 20,71 kW

Resposta

P_shaft = 20,71 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 0,1942 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,001^1/2 = 0,6867 m/s

Vazão

Q = A·V = 0,2827·0,6867 = 0,1942 m³/s

Resposta

Q = 0,1942 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0004871 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1,4)·1,4 = 3,36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,4·√(1 + 1²) = 4,96 m

R = A/P = 0,6774 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·2,6/(3,36·0,7713) = 0,02207

S = 0,02207² = 0,0004871

Resposta

S = 0,0004871

Isso é um desnível de 0,4871 m por quilômetro.

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