Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 20 mm. O nível da água é mantido 5 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,62. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 5 mC_d = 0,62g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 40 mm enquanto sobe 5 m. Na seção 1 a pressão é 290 kPa e a velocidade é 2,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 290 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 3 m/s em uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 3 m/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022. A superfície da água do reservatório superior está 32 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 32 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 24 m enquanto seu eixo absorve 16,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 50 L/sH = 24 mP_shaft = 16,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 12 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 72%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos tem largura de fundo de 4,5 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 0,9 m de profundidade. n de Manning = 0,015 e a declividade do fundo é S = 0,003. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 4,5 my = 0,9 mz = 1,5n = 0,015S = 0,003

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de terra limpa com largura de fundo de 2,5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 31 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 2,3 m. n de Manning = 0,022. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 31 m³/sb = 2,5 my = 2,3 mz = 1n = 0,022

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 143,5 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN

Resposta

F = 143,5 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 3,889 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,75·2,5 = 115,9 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 1,302/(3,75·2,5) = 3,889 m

Resposta

y_cp = 3,889 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 1,929 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,62·0,0003142·9,905 = 0,001929 m³/s = 1,929 L/s

Resposta

Q = 1,929 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 212,2 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(75/40)² = 7,91 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 7,91²)/1000 = −28,75 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−28,75) − 49,05 = 212,2 kPa

Resposta

p₂ = 212,2 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 6,728 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 3²/(2·9,81) = 0,4587 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,3)·3²/(2·9,81) = 6,728 m

Resposta

h_f = 6,728 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 72,76 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

32 = (29,33 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·32/37,03) = 4,117 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 4,117·0,01767 = 0,07276 m³/s = 72,76 L/s

Resposta

Q = 72,76 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 70,07 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·24 = 11,77 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 11,77/16,8 = 70,07%

Resposta

η = 70,07%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 17,45 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (21,6 + 8)·0,1354 = 4,007 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 12 + 4,007 = 16,01 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·16,01/0,72 = 17,45 kW

Resposta

P_shaft = 17,45 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 14,86 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·0,9)·0,9 = 5,265 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,9·√(1 + 1,5²) = 7,745 m

R = A/P = 0,6798 m

Velocidade

V = (1/0,015)·0,6798^2/3·0,003^1/2 = 2,823 m/s

Vazão

Q = A·V = 5,265·2,823 = 14,86 m³/s

Resposta

Q = 14,86 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,002909 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·2,3)·2,3 = 11,04 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,3·√(1 + 1²) = 9,005 m

R = A/P = 1,226 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·31/(11,04·1,145) = 0,05393

S = 0,05393² = 0,002909

Resposta

S = 0,002909

Isso é um desnível de 2,909 m por quilômetro.

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