Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 100 mm e diâmetro da garganta de 60 mm. A pressão na entrada é 41 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 41 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 50 mm enquanto sobe 1 m. Na seção 1 a pressão é 160 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 160 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 25 L/s em uma tubulação de 1000 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 25 L/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 24 m. O rendimento da bomba é 60% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 90%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 40 L/sH = 24 mη_pump = 60%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 12 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 70%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 50 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de cascalho tem largura de fundo de 1 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 2,2 m de profundidade. n de Manning = 0,025 e a declividade do fundo é S = 0,0005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,025S = 0,0005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de cascalho com largura de fundo de 5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical) deve transportar 55 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 2,5 m. n de Manning = 0,025. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 55 m³/sb = 5 my = 2,5 mz = 1n = 0,025

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 117,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·4 = 117,7 kN

Resposta

F = 117,7 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 3,308 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,25·4,5 = 126,3 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,8438/(3,25·4,5) = 3,308 m

Resposta

y_cp = 3,308 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 27,44 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v₁ = v₂·(60/100)² = 0,36·v₂

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·41000/(1000·(1 − 0,1296))) = 9,706 m/s

v₁ = 3,494 m/s

Vazão

Q = A₂·v₂ = 0,002827·9,706 = 0,02744 m³/s = 27,44 L/s

Resposta

Q = 27,44 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 133,3 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(100/50)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−16,88) − 9,81 = 133,3 kPa

Resposta

p₂ = 133,3 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 0,7932 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,025/0,04909 = 0,5093 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,5093²/(2·9,81) = 0,01322 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,25)·0,5093²/(2·9,81) = 0,7932 m

Resposta

h_f = 0,7932 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 3,143 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·150/0,3 = 9

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Perda de carga total

h_f = 9·0,1469 = 1,322 m

h_m = 12,4·0,1469 = 1,821 m

Δz = h_f + h_m = 3,143 m

Resposta

Δz = 3,143 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 17,44 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·24 = 9,418 kW

Potência no eixo

P_shaft = 9,418/0,6 = 15,7 kW

Potência elétrica

P_el = 15,7/0,9 = 17,44 kW

Resposta

P_el = 17,44 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 10,49 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,1291 = 2,969 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 12 + 2,969 = 14,97 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·14,97/0,7 = 10,49 kW

Resposta

P_shaft = 10,49 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 8,791 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·2,2)·2,2 = 9,46 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 8,932 m

R = A/P = 1,059 m

Velocidade

V = (1/0,025)·1,059^2/3·0,0005^1/2 = 0,9293 m/s

Vazão

Q = A·V = 9,46·0,9293 = 8,791 m³/s

Resposta

Q = 8,791 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,002989 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·2,5)·2,5 = 18,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2,5·√(1 + 1²) = 12,07 m

R = A/P = 1,553 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·55/(18,75·1,341) = 0,05468

S = 0,05468² = 0,002989

Resposta

S = 0,002989

Isso é um desnível de 2,989 m por quilômetro.

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