Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 20 mm. O nível da água é mantido 5 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,62. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 5 mC_d = 0,62g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 100 mm e pressão manométrica de 50 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 40 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 50 kPa (manométrica)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 2,3 m/s em uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 2,3 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 60% fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 58 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 100 L/sH = 58 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 14 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 70%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 75 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Uma galeria de águas pluviais de concreto com diâmetro interno de 450 mm escoa exatamente cheia (como canal aberto, não sob pressão). n de Manning = 0,013 e a declividade é S = 0,001. Encontre a vazão Q em m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de cascalho com largura de fundo de 6 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical) deve transportar 40 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,9 m. n de Manning = 0,025. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 40 m³/sb = 6 my = 1,9 mz = 3n = 0,025

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 138 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3,75 = 138 kN

Resposta

F = 138 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 43,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,25·2,25 = 43,7 kN

Resposta

F = 43,7 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 1,929 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,62·0,0003142·9,905 = 0,001929 m³/s = 1,929 L/s

Resposta

Q = 1,929 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 5,231 m

Velocidade de saída

β = 40/100 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0,9744)) = 10,13 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 10,13²/(2·9,81) = 5,231 m

Resposta

H = 5,231 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 32,35 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2,3²/(2·9,81) = 0,2696 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,05)·2,3²/(2·9,81) = 32,35 m

Resposta

h_f = 32,35 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 9,056 m

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·200/0,2 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Perda de carga total

h_f = 20·0,3305 = 6,61 m

h_m = 7,4·0,3305 = 2,446 m

Δz = h_f + h_m = 9,056 m

Resposta

Δz = 9,056 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 94,83 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·58 = 56,9 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 56,9/0,6 = 94,83 kW

Resposta

P_shaft = 94,83 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 20,67 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,5 + 6)·0,2905 = 5,664 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 14 + 5,664 = 19,66 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·19,66/0,7 = 20,67 kW

Resposta

P_shaft = 20,67 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 0,09016 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Velocidade

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,001^1/2 = 0,5669 m/s

Vazão

Q = A·V = 0,159·0,5669 = 0,09016 m³/s

Resposta

Q = 0,09016 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,001529 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·1,9)·1,9 = 22,23 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,9·√(1 + 3²) = 18,02 m

R = A/P = 1,234 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·40/(22,23·1,15) = 0,0391

S = 0,0391² = 0,001529

Resposta

S = 0,001529

Isso é um desnível de 1,529 m por quilômetro.

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