Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 18 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 75 mm. A pressão no trecho estreito é 110 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 18 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 110 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 75 mm enquanto sobe 10 m. Na seção 1 a pressão é 160 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 160 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,5 m/s em uma tubulação horizontal de 1000 m de comprimento e diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,5 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 33 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 33 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 80% fornece 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 40 L/sH = 18 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 13 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 70%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 75 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5η = 70%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal retangular de cascalho tem 3,5 m de largura. A água escoa uniformemente com 1 m de profundidade. n de Manning = 0,025 e a declividade do fundo é S = 0,003. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 3,5 my = 1 mn = 0,025S = 0,003

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento com largura de fundo de 1,5 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical) deve transportar 20 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,8 m. n de Manning = 0,014. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 20 m³/sb = 1,5 my = 1,8 mz = 2n = 0,014

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 206 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Resposta

F = 206 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 22,07 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·1,5 = 22,07 kN

Resposta

F = 22,07 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 117,8 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,018/0,01767 = 1,019 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,018/0,004418 = 4,074 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 110 + ½·1000·(4,074² − 1,019²)/1000 = 110 + 7,781 = 117,8 kPa

Resposta

p₁ = 117,8 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 59,47 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(100/75)² = 2,667 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 2,667²)/1000 = −2,431 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−2,431) − 98,1 = 59,47 kPa

Resposta

p₂ = 59,47 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 56,25 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,3)·1,5²/(2·9,81) = 5,734 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·5,734 = 56250 Pa = 56,25 kPa

Resposta

Δp = 56,25 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 391,6 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·150/0,3 = 9

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

33 = (9 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·33/21,1) = 5,539 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 5,539·0,07069 = 0,3916 m³/s = 391,6 L/s

Resposta

Q = 391,6 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 8,829 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·18 = 7,063 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 7,063/0,8 = 8,829 kW

Resposta

P_shaft = 8,829 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 20,69 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0,2905 = 6,681 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 13 + 6,681 = 19,68 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·19,68/0,7 = 20,69 kW

Resposta

P_shaft = 20,69 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 5,673 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = b·y = 3,5·1 = 3,5 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1 = 5,5 m

R = A/P = 0,6364 m

Velocidade

V = (1/0,025)·0,6364^2/3·0,003^1/2 = 1,621 m/s

Vazão

Q = A·V = 3,5·1,621 = 5,673 m³/s

Resposta

Q = 5,673 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0009806 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·1,8)·1,8 = 9,18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,8·√(1 + 2²) = 9,55 m

R = A/P = 0,9613 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·20/(9,18·0,974) = 0,03131

S = 0,03131² = 0,0009806

Resposta

S = 0,0009806

Isso é um desnível de 0,9806 m por quilômetro.

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