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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €3 000 no final de cada ano durante 6 anos. A taxa de juros é 8% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €3 000i = 8%n = 6
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €250 no fim de cada mês durante 29 anos. A conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €2503,6% / 12N = 348
FV = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% e vence em 15 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 8% para 7%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 4,5%n = 15y1 = 8%y2 = 7%
ΔP = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 025 com rendimento até o vencimento de 5% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 6,9 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 50 pontos-base.
P0 = €1 025y = 5%D = 6,9Δy = +50 bp
P = €
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €13,00 cada e 10 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 6%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 1%rm = 6%rd = 6%T = 28%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €17 000, €27 000, €24 000, €26 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e retorna €10 000, €8 000, €10 500, €9 000 no final dos anos 1 a 4. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 10%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6302)/0,08 = 4,623
Valor atual
PV = 3 000·4,623 = €13 868,64
Resposta
PV = €13 868,64
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 153010 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 6,9/1,05 = 6,571
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −6,571·(0,005) = −3,286%
P ≈ 1025·(1 − 0,03286) = €991,32
Resposta
P = €991,32
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,817 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·8% + 0,3333·6%·(1 − 0,258) = 6,817%
Resposta
WACC = 6,817%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,705 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 2 500 000·€13,00 = €32 500 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1% + 1,8·5% = 10%
Pesos
V = €42 100 000, E/V = 0,772, D/V = 0,228
WACC
WACC = 0,772·10% + 0,228·6%·(1 − 0,28) = 8,705%
Resposta
WACC = 8,705%
7.VAL e TIR
Resposta: NPV = 22803 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 17 000/1,05 = 16 190,48
CF2/(1 + 0,05)2 = 27 000/1,103 = 24 489,80
CF3/(1 + 0,05)3 = 24 000/1,158 = 20 732,10
CF4/(1 + 0,05)4 = 26 000/1,216 = 21 390,26
Somar
NPV = €22 802,64
Resposta
NPV = €22 802,64
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 14,88 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.