Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Você investe €20 000 a 6% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 7 anos.

PV = €20 000r = 6%t = 7

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 6 anos a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €20 0002,4% / 12N = 72

I = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Você compra um título com 9 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 5%) quando seu rendimento até o vencimento é 5,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 6%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.

F = €1 000cupom = 5%n = 9y₀ = 5,5%y₁ = 6%

HPR = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título é negociado a €980 com rendimento até o vencimento de 5% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 8,1 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 50 pontos-base.

P₀ = €980y = 5%D = 8,1Δy = +50 bp

P = €

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 4 000 000 ações a €50,50 cada e 20 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 6,5%. Calcule o WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 6,5%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €400 000 hoje. Ele gera €29 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €29 000g = 3%r = 12%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €10 000 e devolve €7 500, €7 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 30439 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Expoente

r·t = 0,06·7 = 0,42

e^0,42 = 1,522

Valor futuro

FV = 20 000·1,522 = €30 439,23

Resposta

FV = €30 439,23

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 1495 €

Prestação mensal

i = 0,002, N = 72

A = 20 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻⁷²) = €298,53

Juros totais

I = N·A − P = 72·298,5 − 20 000 = €1 494,51

Resposta

I = €1 494,51

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: HPR = 2,348 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço de compra

C = €50,00, i = 0,055, N = 9

€50,00·(1 − 0,6176)/0,055 + €1 000·0,6176 = €347,61 + €617,63 = €965,24

Preço de venda

C = €50,00, i = 0,06, N = 8

€50,00·(1 − 0,6274)/0,06 + €1 000·0,6274 = €310,49 + €627,41 = €937,90

Retorno no período de posse

HPR = (50 + 937,90 − 965,24)/965,24 = 2,348%

Resposta

HPR = 2,348%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 942,2 €

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modificada

D_mod = 8,1/1,05 = 7,714

Variação estimada do preço

%ΔP ≈ −7,714·(0,005) = −3,857%

P ≈ 980·(1 − 0,03857) = €942,20

Resposta

P = €942,20

A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,996 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·10% + 0,625·7%·(1 − 0,258) = 6,996%

Resposta

WACC = 6,996%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,926 %

Valores de mercado

E = 4 000 000·€50,50 = €202 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·4,5% = 7,4%

Pesos

V = €223 000 000, E/V = 0,9058, D/V = 0,09417

WACC

WACC = 0,9058·7,4% + 0,09417·3%·(1 − 0,21) = 6,926%

Resposta

WACC = 6,926%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −77778 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor dos fluxos de caixa

PV = 29 000/(0,12 − 0,03) = 322 222,22

NPV

NPV = 322 222,22 − 400 000 = −€77 777,78

Resposta

NPV = −€77 777,78

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 31,87 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(30%) = 207,10

NPV(35%) = −329,22

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 30 + 5·207,10/(207,10 − (−329,22)) = 31,93%

exato: NPV(31,87%) = 0 → IRR = 31,87%

Resposta

IRR = 31,87%

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