Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 24%m = 365

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você deposita €1 000 no início de cada ano durante 29 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 3% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 29? Encontre FV.

A = €1 000i = 3%n = 29

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. O rendimento até o vencimento é de 3,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4%YTM = 3,5%n = 12

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 4,5%n = 6YTM = 6%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 4 000 000 ações a €16,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 3,5% e o retorno do mercado é 7,5%. Calcule o WACC.

β = 1,3r_f = 3,5%r_m = 7,5%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €40 000 hoje. Ela gera €7 500 no final de cada ano durante 6 anos e depois pode ser vendida por €6 000. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €40 000CF = €7 500S = €6 000n = 6r = 8%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €25 000 e devolve €14 000, €16 000, €11 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 000CF₂ = 16 000CF₃ = 11 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 27,11 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,24/365 = 0,0006575

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,0006575)³⁶⁵ − 1 = 1,271 − 1 = 27,11%

Resposta

EAR = 27,11%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 46575 €

Fator de anuidade postecipada

((1 + 0,03)²⁹ − 1)/0,03 = 45,22

Anuidade antecipada

Cada depósito fica investido um ano a mais.

FV = 1 000·45,22·1,03 = €46 575,42

Resposta

FV = €46 575,42

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1049 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €20,00, i = 0,0175, N = 24

Valor presente dos cupons

€20,00·(1 − 0,6594)/0,0175 = €389,21

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6594 = €659,44

Preço

P = €1 048,65

Resposta

P = €1 048,65

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 5,362 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 45/1,06 = 42,45, t·PV = 42,45

t = 2: 45/1,124 = 40,05, t·PV = 80,10

t = 3: 45/1,191 = 37,78, t·PV = 113,35

t = 4: 45/1,262 = 35,64, t·PV = 142,58

t = 5: 45/1,338 = 33,63, t·PV = 168,13

t = 6: 1045/1,419 = 736,68, t·PV = 4 420,10

Duration

P = 926,24

D = 4 966,71/926,24 = 5,362

Resposta

D = 5,362 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 4,543 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143

WACC

WACC = 0,2857·8% + 0,7143·4%·(1 − 0,21) = 4,543%

Resposta

WACC = 4,543%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,236 %

Valores de mercado

E = 4 000 000·€16,00 = €64 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,3·4% = 8,7%

Pesos

V = €104 800 000, E/V = 0,6107, D/V = 0,3893

WACC

WACC = 0,6107·8,7% + 0,3893·3%·(1 − 0,21) = 6,236%

Resposta

WACC = 6,236%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −1547 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor presente dos fluxos de caixa anuais

7 500·4,623 = 34 671,60

Valor presente do valor residual

6 000/1,587 = 3 781,02

NPV

NPV = −40 000 + 34 671,60 + 3 781,02 = −€1 547,38

Resposta

NPV = −€1 547,38

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 30,71 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(30%) = 243,51

NPV(35%) = −1 379,62

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 30 + 5·243,51/(243,51 − (−1 379,62)) = 30,75%

exato: NPV(30,71%) = 0 → IRR = 30,71%

Resposta

IRR = 30,71%

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