Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €5 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 2,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 8,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.

C₁ = €5 000g = 2,5%r = 8,5%

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você toma emprestado €20 000 a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €275 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.

P = €20 000A = €2757,2% / 12

N = pagamentos

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é de 6% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 8%YTM = 6%n = 6

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com 12 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) é vendido a €1 228. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 4 anos a um preço de resgate de €1 070. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.

F = €1 000cupom = 7%P = €1 228preço de resgate = €1 070resgate em 4 anos

YTC = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio no valor de €6 000 000 e dívida no valor de €5 000 000. Seu WACC é 6,93%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o custo do capital próprio r_e.

E = €6 000 000D = €5 000 000WACC = 6,93%r_d = 6%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 5 000 000 ações a €35,50 cada e 40 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 10%. Calcule o WACC.

β = 1,2r_f = 3%r_m = 10%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €20 000, €18 000, €11 000, €10 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 20 000CF₂ = 18 000CF₃ = 11 000CF₄ = 10 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €40 000 e devolve €30 000, €16 000, €20 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −40 000CF₁ = 30 000CF₂ = 16 000CF₃ = 20 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 83333 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Perpetuidade crescente

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0,085 − 0,025) = 5 000/0,06 = €83 333,33

Resposta

PV = €83 333,33

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: N = 96 pagamentos

Reorganize a fórmula da anuidade

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,006/275 = 0,5636

Resolver com logaritmos

N = −ln(0,5636)/ln(1,006) = 95,84

Arredonde para cima até pagamentos inteiros

95 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.

N = 96

Resposta

N = 96 pagamentos

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1100 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €40,00, i = 0,03, N = 12

Valor presente dos cupons

€40,00·(1 − 0,7014)/0,03 = €398,16

Valor presente do valor de face

€1 000·0,7014 = €701,38

Preço

P = €1 099,54

Resposta

P = €1 099,54

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTC = 2,607 %

Equação do rendimento

1228 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1070/(1 + y)⁴

Resolva numericamente

y = 2%: €1 255,06

y = 3%: €1 210,88

YTC = 2,607%

Resposta

YTC = 2,607%

O rendimento até o vencimento é 4,5%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.

5.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 8,995 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545

Parte da dívida no WACC

0,4545·6%·(1 − 0,258) = 2,024%

Custo do capital próprio

r_e = (6,93% − 2,024%)/0,5455 = 8,995%

Resposta

r_e = 8,995%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 9,974 %

Valores de mercado

E = 5 000 000·€35,50 = €177 500 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,2·7% = 11,4%

Pesos

V = €219 500 000, E/V = 0,8087, D/V = 0,1913

WACC

WACC = 0,8087·11,4% + 0,1913·5%·(1 − 0,21) = 9,974%

Resposta

WACC = 9,974%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 6022 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 20 000/1,07 = 18 691,59

CF₂/(1 + 0,07)² = 18 000/1,145 = 15 721,90

CF₃/(1 + 0,07)³ = 11 000/1,225 = 8 979,28

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 10 000/1,311 = 7 628,95

Somar

NPV = €6 021,71

Resposta

NPV = €6 021,71

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 33,63 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(30%) = 1 875,28

NPV(35%) = −666,57

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 30 + 5·1 875,28/(1 875,28 − (−666,57)) = 33,69%

exato: NPV(33,63%) = 0 → IRR = 33,63%

Resposta

IRR = 33,63%

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