Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 16% ao ano, capitalizada trimestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 16%m = 4

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você toma emprestado €15 000 a 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €450 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.

P = €15 000A = €4504,8% / 12

N = pagamentos

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 12 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 299 quando o rendimento até o vencimento é 3%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 12P = €1 299YTM = 3%

c = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com 17 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 8%) é vendido a €1 210. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 6 anos a um preço de resgate de €1 080. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.

F = €1 000cupom = 8%P = €1 210preço de resgate = €1 080resgate em 6 anos

YTC = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma ação com beta de 1,25 tem retorno exigido de 10,38%. A taxa livre de risco é 3,5%. Que retorno esperado do mercado r_m o CAPM implica?

β = 1,25r_e = 10,38%r_f = 3,5%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 2 000 000 ações a €54,50 cada e 10 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.

β = 1,2r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €14 000, €21 000, €19 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 14 000CF₂ = 21 000CF₃ = 19 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

O projeto A custa €40 000 e retorna €22 500, €15 500, €9 000 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €50 000 e retorna €14 000, €20 000, €26 000. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.

A: −40 000, 22 500, 15 500, 9 000B: −50 000, 14 000, 20 000, 26 000

r* = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 16,99 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,16/4 = 0,04

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,04)⁴ − 1 = 1,17 − 1 = 16,99%

Resposta

EAR = 16,99%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: N = 36 pagamentos

Reorganize a fórmula da anuidade

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,004/450 = 0,8667

Resolver com logaritmos

N = −ln(0,8667)/ln(1,004) = 35,85

Arredonde para cima até pagamentos inteiros

35 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.

N = 36

Resposta

N = 36 pagamentos

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 6,004 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,03)⁻¹² = €701,38

Cupom

C = (1299 − 701,38)/9,954 = €60,04

Taxa de cupom

c = 60,04/1000 = 6,004%

Resposta

c = 6,004%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTC = 5,033 %

Equação do rendimento

1210 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1080/(1 + y)⁶

Resolva numericamente

y = 5%: €1 211,97

y = 6%: €1 154,74

YTC = 5,033%

Resposta

YTC = 5,033%

O rendimento até o vencimento é 5,996%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.

5.CAPM e WACC

Resposta: r_m = 9,004 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Prêmio de risco de mercado

r_m − r_f = (10,38% − 3,5%)/1,25 = 5,504%

Retorno do mercado

r_m = 3,5% + 5,504% = 9,004%

Resposta

r_m = 9,004%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 9,028 %

Valores de mercado

E = 2 000 000·€54,50 = €109 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,2·4,5% = 9,4%

Pesos

V = €118 600 000, E/V = 0,9191, D/V = 0,08094

WACC

WACC = 0,9191·9,4% + 0,08094·6%·(1 − 0,2) = 9,028%

Resposta

WACC = 9,028%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −14809 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 14 000/1,09 = 12 844,04

CF₂/(1 + 0,09)² = 21 000/1,188 = 17 675,28

CF₃/(1 + 0,09)³ = 19 000/1,295 = 14 671,49

Somar

NPV = €−14 809,20

Resposta

NPV = €−14 809,20

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: r* = 6,651 %

Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.

Diferença dos fluxos de caixa

ΔCF₀ = −50 000 − (−40 000) = −10 000

ΔCF₁ = 14 000 − 22 500 = −8 500

ΔCF₂ = 20 000 − 15 500 = 4 500

ΔCF₃ = 26 000 − 9 000 = 17 000

TIR da diferença

NPV_Δ(6%) = 259,64

NPV_Δ(7%) = −136,39

r* = 6,651%

Resposta

r* = 6,651%

Verificação: a 6,651% os dois VPLs valem €2 142,83.

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