Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 16% ao ano, capitalizada trimestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 16%m = 4

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você toma emprestado €20 000 a 6% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €475 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.

P = €20 000A = €4756% / 12

N = pagamentos

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 2,5%n = 12

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é 3%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 4%n = 6YTM = 3%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.

E = €3 000 000D = €4 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 2 500 000 ações a €51,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.

β = 1,5r_f = 4%r_m = 8%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €22 000, €26 000, €21 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 26 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €20 000 e devolve €10 000, €12 500, €7 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 12 500CF₃ = 7 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 16,99 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,16/4 = 0,04

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,04)⁴ − 1 = 1,17 − 1 = 16,99%

Resposta

EAR = 16,99%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: N = 48 pagamentos

Reorganize a fórmula da anuidade

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,005/475 = 0,7895

Resolver com logaritmos

N = −ln(0,7895)/ln(1,005) = 47,4

Arredonde para cima até pagamentos inteiros

47 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.

N = 48

Resposta

N = 48 pagamentos

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1206 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €22,50, i = 0,0125, N = 24

Valor presente dos cupons

€22,50·(1 − 0,7422)/0,0125 = €464,05

Valor presente do valor de face

€1 000·0,7422 = €742,20

Preço

P = €1 206,24

Resposta

P = €1 206,24

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 5,468 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 40/1,03 = 38,83, t·PV = 38,83

t = 2: 40/1,061 = 37,70, t·PV = 75,41

t = 3: 40/1,093 = 36,61, t·PV = 109,82

t = 4: 40/1,126 = 35,54, t·PV = 142,16

t = 5: 40/1,159 = 34,50, t·PV = 172,52

t = 6: 1040/1,194 = 870,98, t·PV = 5 225,90

Duration

P = 1 054,17

D = 5 764,64/1 054,17 = 5,468

Resposta

D = 5,468 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,743 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714

WACC

WACC = 0,4286·12% + 0,5714·4%·(1 − 0,3) = 6,743%

Resposta

WACC = 6,743%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 9,466 %

Valores de mercado

E = 2 500 000·€51,50 = €128 750 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,5·4% = 10%

Pesos

V = €138 750 000, E/V = 0,9279, D/V = 0,07207

WACC

WACC = 0,9279·10% + 0,07207·3,5%·(1 − 0,258) = 9,466%

Resposta

WACC = 9,466%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 412,4 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 22 000/1,07 = 20 560,75

CF₂/(1 + 0,07)² = 26 000/1,145 = 22 709,41

CF₃/(1 + 0,07)³ = 21 000/1,225 = 17 142,26

Somar

NPV = €412,41

Resposta

NPV = €412,41

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 24,44 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(20%) = 1 354,17

NPV(25%) = −160,00

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 20 + 5·1 354,17/(1 354,17 − (−160,00)) = 24,47%

exato: NPV(24,44%) = 0 → IRR = 24,44%

Resposta

IRR = 24,44%

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