Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, capitalizada semestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 24%m = 2

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €200 000 é pago em prestações mensais iguais durante 20 anos. A taxa de juro é de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.

P = €200 0003% / 12N = 240

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Você compra um título com 3 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 2%) quando seu rendimento até o vencimento é 3,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 4,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.

F = €1 000cupom = 2%n = 3y₀ = 3,5%y₁ = 4,5%

HPR = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 3 anos e é vendido por €950. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 5%n = 3P = €950

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.

E = €4 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 1,5 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,25. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco 2,5% e o prêmio de risco de mercado 6%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1T = 25%r_f = 2,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €6 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 2% ao ano para sempre. O custo de capital é 9%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €6 000g = 2%r = 9%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €25 000 e devolve €17 500, €13 000, €18 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 13 000CF₃ = 18 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 25,44 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,24/2 = 0,12

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,12)² − 1 = 1,254 − 1 = 25,44%

Resposta

EAR = 25,44%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 1109 €

Taxa mensal e número de prestações

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·20 = 240

Prestação

O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.

(1 + i)^−N = 0,5492

A = 200 000·0,0025/(1 − 0,5492) = €1 109,20

Resposta

A = €1 109,20

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: HPR = 1,588 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço de compra

C = €20,00, i = 0,035, N = 3

€20,00·(1 − 0,9019)/0,035 + €1 000·0,9019 = €56,03 + €901,94 = €957,98

Preço de venda

C = €20,00, i = 0,045, N = 2

€20,00·(1 − 0,9157)/0,045 + €1 000·0,9157 = €37,45 + €915,73 = €953,18

Retorno no período de posse

HPR = (20 + 953,18 − 957,98)/957,98 = 1,588%

Resposta

HPR = 1,588%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 6,902 %

Equação do rendimento

€950 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Resolva numericamente

P(6%) = €973,27, P(7%) = €947,51

YTM = 6,902%

Resposta

YTM = 6,902%

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,378 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556

WACC

WACC = 0,4444·13% + 0,5556·4%·(1 − 0,28) = 7,378%

Resposta

WACC = 7,378%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 15,76 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 1,5/(1 + 0,75·0,25) = 1,263

Realavanque com o novo D/E

β_L = 1,263·(1 + 0,75·1) = 2,211

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 2,5% + 2,211·6% = 15,76%

Resposta

r_e = 15,76%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −14286 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor dos fluxos de caixa

PV = 6 000/(0,09 − 0,02) = 85 714,29

NPV

NPV = 85 714,29 − 100 000 = −€14 285,71

Resposta

NPV = −€14 285,71

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 42,19 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(40%) = 692,42

NPV(45%) = −843,62

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 40 + 5·692,42/(692,42 − (−843,62)) = 42,25%

exato: NPV(42,19%) = 0 → IRR = 42,19%

Resposta

IRR = 42,19%

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