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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €20 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 2% ao ano para sempre. O retorno exigido é 4% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €20 000g = 2%r = 4%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €500 no fim de cada mês durante 20 anos. A conta rende 5,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €5005,4% / 12N = 240
FV = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% e vence em 4 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 6% para 4,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 3%n = 4y1 = 6%y2 = 4,5%
ΔP = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 040 com rendimento até o vencimento de 7% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 12 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 75 pontos-base.
P0 = €1 040y = 7%D = 12Δy = −75 bp
P = €
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €12 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,8. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 1,5. A alíquota de imposto é 25,8%, a taxa livre de risco é 3% e o prêmio de risco de mercado é 6,5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 0,8D/E = 1,5T = 25,8%rf = 3%rm − rf = 6,5%
re = %
7.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €6 000, €6 000, €5 000, €4 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €150 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €34 000 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 4. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €150 000CF1 = €34 000g = 4%n = 4r = 8%
NPV = €
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 1 × 10⁶ €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 12/1,07 = 11,21
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −11,21·(−0,0075) = 8,411%
P ≈ 1040·(1 + 0,08411) = €1 127,48
Resposta
P = €1 127,48
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,75 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·10% + 0,2·5%·(1 − 0,25) = 8,75%
Resposta
WACC = 8,75%
6.CAPM e WACC
Resposta: re = 13,99 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 0,8·(1 + 0,742·1,5) = 1,69
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3% + 1,69·6,5% = 13,99%
Resposta
re = 13,99%
7.VAL e TIR
Resposta: NPV = −2019 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 6 000/1,07 = 5 607,48
CF2/(1 + 0,07)2 = 6 000/1,145 = 5 240,63
CF3/(1 + 0,07)3 = 5 000/1,225 = 4 081,49
CF4/(1 + 0,07)4 = 4 000/1,311 = 3 051,58
Somar
NPV = €−2 018,82
Resposta
NPV = €−2 018,82
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: NPV = −30899 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.