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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €12 000 a uma taxa nominal de 5 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 7 anos.
PV = €12 0005% / 4n = 7
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €20 000 a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €375 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €20 000A = €3752,4% / 12
N = pagamentos
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 5 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 8%) quando seu rendimento até o vencimento é 3,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 5y0 = 3,5%y1 = 5%
HPR = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 13 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 9%) é vendido a €1 167. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 4 anos a um preço de resgate de €1 090. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 9%P = €1 167preço de resgate = €1 090resgate em 4 anos
YTC = %
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €6 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €4 000 000. O custo do capital próprio é 11%, o custo das ações preferenciais 7% e o custo da dívida antes dos impostos 3%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €27,00 cada e 20 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 7,5%. Calcule o WACC.
β = 0,6rf = 1,5%rm = 7,5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €13 000, €9 000, €14 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €7 000, €11 500, €14 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 11 500CF3 = 14 500
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 16992 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,002/375 = 0,8933
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,8933)/ln(1,002) = 56,45
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
56 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 57
Resposta
N = 57 pagamentos
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = −1,396 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1167 = 90·(1 − (1 + y)−4)/y + 1090/(1 + y)4
Resolva numericamente
y = 6%: €1 175,24
y = 7%: €1 136,40
YTC = 6,208%
Resposta
YTC = 6,208%
O rendimento até o vencimento é 7,002%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,367 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 13 000/1,15 = 11 304,35
CF2/(1 + 0,15)2 = 9 000/1,322 = 6 805,29
CF3/(1 + 0,15)3 = 14 000/1,521 = 9 205,23
Somar
NPV = €−2 685,13
Resposta
NPV = €−2 685,13
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 26,14 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 384,00
NPV(30%) = −1 210,74
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.