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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €5 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 5,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €5 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €8 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 5,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €8 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 10 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 2%) quando seu rendimento até o vencimento é 3,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 3%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 2%n = 10y0 = 3,5%y1 = 3%
HPR = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é 3%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 4,5%n = 3YTM = 3%
D = anos
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €12 000 000 e custo do capital próprio de 11%. Sua dívida consiste em 8 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 12 anos até o vencimento) negociados a €911 cada. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €12 000, €14 000, €23 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €16 500, €15 000, €12 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 15 000CF3 = 12 000
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 125000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·5 = 60
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,7638
A = 8 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €152,44
Resposta
A = €152,44
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 7,642 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 45/1,03 = 43,69, t·PV = 43,69
t = 2: 45/1,061 = 42,42, t·PV = 84,83
t = 3: 1045/1,093 = 956,32, t·PV = 2 868,97
Duration
P = 1 042,43
D = 2 997,49/1 042,43 = 2,875
Resposta
D = 2,875 anos
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,082 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 12 000/1,05 = 11 428,57
CF2/(1 + 0,05)2 = 14 000/1,103 = 12 698,41
CF3/(1 + 0,05)3 = 23 000/1,158 = 19 868,26
Somar
NPV = €−16 004,75
Resposta
NPV = €−16 004,75
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 36,04 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 329,98
NPV(40%) = −1 188,05
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.