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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €10 000 a 2% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 3 anos.
PV = €10 000r = 2%t = 3
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €100 no fim de cada mês durante 24 anos. A conta rende 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €1004,2% / 12N = 288
FV = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4%YTM = 5%n = 12
P = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 035 com rendimento até o vencimento de 3% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 3,6 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 100 pontos-base.
P0 = €1 035y = 3%D = 3,6Δy = +100 bp
P = €
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €10 000 000, ações preferenciais no valor de €500 000 e dívida no valor de €6 000 000. O custo do capital próprio é 12%, o custo das ações preferenciais 6,5% e o custo da dívida antes dos impostos 3%. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €31,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 6%. Calcule o WACC.
β = 1,3rf = 1,5%rm = 6%rd = 6%T = 28%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €60 000 hoje e retorna €22 000, €18 000, €20 500, €26 500 no final dos anos 1 a 4. O custo de capital é 5%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €20 000 e retorna €8 500, €9 500, €9 500 no final dos anos 1 a 3. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 10%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,02·3 = 0,06
e0,06 = 1,062
Valor futuro
FV = 10 000·1,062 = €10 618,37
Resposta
FV = €10 618,37
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 49580 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, i = 0,025, N = 24
Valor presente dos cupons
€20,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €357,70
Valor presente do valor de face
€1 000·0,5529 = €552,88
Preço
P = €910,58
Resposta
P = €910,58
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
4.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 998,8 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 3,6/1,03 = 3,495
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −3,495·(0,01) = −3,495%
P ≈ 1035·(1 − 0,03495) = €998,83
Resposta
P = €998,83
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,288 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 22 000/1,05 = 20 952,38 → Σ = 20 952,38
ano 2: 18 000/1,103 = 16 326,53 → Σ = 37 278,91
ano 3: 20 500/1,158 = 17 708,67 → Σ = 54 987,58
ano 4: 26 500/1,216 = 21 801,62 → Σ = 76 789,20
Fração do último ano
DPB = 3 + 5 012,42/21 801,62 = 3,23
Resposta
DPB = 3,23 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,976 anos).
8.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 14,77 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.