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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 18% ao ano, capitalizada trimestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 18%m = 4
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €2 000 no início de cada ano durante 6 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 6% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 6? Encontre FV.
A = €2 000i = 6%n = 6
FV = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% e vence em 4 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5% para 6,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 8%n = 4y1 = 5%y2 = 6,5%
ΔP = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 8%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 5%n = 5YTM = 8%
D = anos
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €5 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €4 000 000. O custo do capital próprio é 14%, o custo das ações preferenciais 6% e o custo da dívida antes dos impostos 5%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €10 000 000 e custo do capital próprio de 9%. Sua dívida consiste em 2 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 7%, 4 anos até o vencimento) negociados a €967 cada. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Uma máquina custa €80 000 hoje. Ela gera €26 500 no final de cada ano durante 3 anos e depois pode ser vendida por €16 000. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €80 000CF = €26 500S = €16 000n = 3r = 12%
NPV = €
8.VAL e TIRDifícil
O projeto A custa €20 000 e retorna €11 000, €8 000, €5 000 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €22 000 e retorna €6 000, €8 500, €12 500. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,18/4 = 0,045
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,045)4 − 1 = 1,193 − 1 = 19,25%
Resposta
EAR = 19,25%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 14788 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,06)6 − 1)/0,06 = 6,975
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 2 000·6,975·1,06 = €14 787,68
Resposta
FV = €14 787,68
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −54,99 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 50/1,08 = 46,30, t·PV = 46,30
t = 2: 50/1,166 = 42,87, t·PV = 85,73
t = 3: 50/1,26 = 39,69, t·PV = 119,07
t = 4: 50/1,36 = 36,75, t·PV = 147,01
t = 5: 1050/1,469 = 714,61, t·PV = 3 573,06
Duration
P = 880,22
D = 3 971,17/880,22 = 4,512
Resposta
D = 4,512 anos
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,804 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 6 000 − 11 000 = −5 000
ΔCF2 = 8 500 − 8 000 = 500
ΔCF3 = 12 500 − 5 000 = 7 500
TIR da diferença
NPVΔ(6%) = 25,16
NPVΔ(7%) = −113,94
r* = 6,178%
Resposta
r* = 6,178%
Verificação: a 6,178% os dois VPLs valem €1 633,19.