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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €1 500 no final de cada ano durante 13 anos. A taxa de juros é 10% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €1 500i = 10%n = 13
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €500 no fim de cada mês durante 11 anos. A conta rende 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €5003% / 12N = 132
FV = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 7 anos. O rendimento até o vencimento é de 4% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 5%YTM = 4%n = 7
P = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 4 anos e é vendido por €1 055. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 4P = €1 055
YTM = %
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €5 000 000 e dívida no valor de €5 000 000. Seu WACC é 8,6%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €34,00 cada e 10 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.
β = 1,5rf = 4%rm = 8,5%rd = 5%T = 21%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €50 000 hoje e retorna €11 000, €17 500, €17 500, €12 500, €15 000, €11 500 no final dos anos 1 a 6. O custo de capital é 8%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €25 000 e devolve €12 000, €18 500, €16 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 18 500CF3 = 16 000
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 10655 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2897)/0,1 = 7,103
Valor atual
PV = 1 500·7,103 = €10 655,03
Resposta
PV = €10 655,03
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 78079 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, i = 0,02, N = 14
Valor presente dos cupons
€25,00·(1 − 0,7579)/0,02 = €302,66
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7579 = €757,88
Preço
P = €1 060,53
Resposta
P = €1 060,53
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
4.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 4,468 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 055 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Resolva numericamente
P(4%) = €1 072,60, P(5%) = €1 035,46
YTM = 4,468%
Resposta
YTM = 4,468%
5.CAPM e WACC
Resposta: re = 13 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Parte da dívida no WACC
0,5·6%·(1 − 0,3) = 2,1%
Custo do capital próprio
re = (8,6% − 2,1%)/0,5 = 13%
Resposta
re = 13%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,3 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 11 000/1,08 = 10 185,19 → Σ = 10 185,19
ano 2: 17 500/1,166 = 15 003,43 → Σ = 25 188,61
ano 3: 17 500/1,26 = 13 892,06 → Σ = 39 080,68
ano 4: 12 500/1,36 = 9 187,87 → Σ = 48 268,55
ano 5: 15 000/1,469 = 10 208,75 → Σ = 58 477,30
Fração do último ano
DPB = 4 + 1 731,45/10 208,75 = 4,17
Resposta
DPB = 4,17 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,32 anos).
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 36,53 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 542,85
NPV(40%) = −1 158,89
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.