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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €20 000 daqui a 9 anos. Uma conta rende 3 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €20 0003% / 4n = 9
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €50 no fim de cada mês durante 25 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €502,4% / 12N = 300
FV = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 15 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 2,5% para 3,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 6%n = 15y1 = 2,5%y2 = 3,5%
ΔP = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €920 com rendimento até o vencimento de 6% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 9,7 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 100 pontos-base.
P0 = €920y = 6%D = 9,7Δy = +100 bp
P = €
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €46,50 cada e 20 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 7%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €60 000 hoje, dura 6 anos e custa €1 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 5%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €60 000M = €1 000n = 6r = 5%
EAC = €
8.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €25 000 e devolve €10 500, €10 500, €10 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 10 500CF2 = 10 500CF3 = 10 000
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 15283 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·9 = 36
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,309 = €15 282,98
Resposta
PV = €15 282,98
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 20526 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 9,7/1,06 = 9,151
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −9,151·(0,01) = −9,151%
P ≈ 920·(1 − 0,09151) = €835,81
Resposta
P = €835,81
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,417 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·13% + 0,3333·3%·(1 − 0,25) = 9,417%
Resposta
WACC = 9,417%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,087 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,05−6)/0,05 = 5,076
Preço de compra anualizado
60 000/5,076 = 11 821,05
EAC
EAC = 11 821,05 + 1 000 = €12 821,05
Resposta
EAC = €12 821,05
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 11,68 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(10%) = 736,29
NPV(15%) = −1 354,89
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.