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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €10 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 2,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 7,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €10 000g = 2,5%r = 7,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €15 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 3 anos a 3% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €15 0003% / 12N = 36
I = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 12 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 4%) quando seu rendimento até o vencimento é 9%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 10,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 12y0 = 9%y1 = 10,5%
HPR = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €975 com rendimento até o vencimento de 7% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 4,7 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 75 pontos-base.
P0 = €975y = 7%D = 4,7Δy = +75 bp
P = €
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €10 000 000 e custo do capital próprio de 13%. Sua dívida consiste em 8 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 6%, 11 anos até o vencimento) negociados a €962 cada. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €27 000, €15 000, €14 000, €16 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um investimento de €25 000 retorna €10 500 no final de cada ano durante 3 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €25 000CF = €10 500n = 3
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 200000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,0025, N = 36
A = 15 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−36) = €436,22
Juros totais
I = N·A − P = 36·436,2 − 15 000 = €703,85
Resposta
I = €703,85
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = −2,274 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 4,7/1,07 = 4,393
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −4,393·(0,0075) = −3,294%
P ≈ 975·(1 − 0,03294) = €942,88
Resposta
P = €942,88
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 11,67 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·13% + 0,1667·7%·(1 − 0,28) = 11,67%
Resposta
WACC = 11,67%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,577 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 27 000/1,06 = 25 471,70
CF2/(1 + 0,06)2 = 15 000/1,124 = 13 349,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 14 000/1,191 = 11 754,67
CF4/(1 + 0,06)4 = 16 000/1,262 = 12 673,50
Somar
NPV = €3 249,81
Resposta
NPV = €3 249,81
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 12,51 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−3)/i = 25 000/10 500 = 2,381
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.