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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €10 000 daqui a 5 anos. Uma conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0004,8% / 12n = 5
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €300 no fim de cada mês durante 15 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €3002,4% / 12N = 180
FV = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 4%) quando seu rendimento até o vencimento é 3,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 11y0 = 3,5%y1 = 2,5%
HPR = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €940 com rendimento até o vencimento de 3% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 9,7 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 25 pontos-base.
P0 = €940y = 3%D = 9,7Δy = +25 bp
P = €
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €4 000 000 e dívida no valor de €2 000 000. Seu WACC é 6,03%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €18,50 cada e 20 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 8%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €50 000 hoje e retorna €22 000, €16 000, €15 500, €17 500, €19 500 no final dos anos 1 a 5. O custo de capital é 12%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €40 000 e devolve €19 500, €14 000, €23 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 19 500CF2 = 14 000CF3 = 23 500
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 7870 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·5 = 60
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,271 = €7 870,05
Resposta
PV = €7 870,05
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 64922 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 9,7/1,03 = 9,417
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −9,417·(0,0025) = −2,354%
P ≈ 940·(1 − 0,02354) = €917,87
Resposta
P = €917,87
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
5.CAPM e WACC
Resposta: re = 7,995 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Parte da dívida no WACC
0,3333·3%·(1 − 0,3) = 0,7%
Custo do capital próprio
re = (6,03% − 0,7%)/0,6667 = 7,995%
Resposta
re = 7,995%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,591 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 22 000/1,12 = 19 642,86 → Σ = 19 642,86
ano 2: 16 000/1,254 = 12 755,10 → Σ = 32 397,96
ano 3: 15 500/1,405 = 11 032,59 → Σ = 43 430,55
ano 4: 17 500/1,574 = 11 121,57 → Σ = 54 552,12
Fração do último ano
DPB = 3 + 6 569,45/11 121,57 = 3,591
Resposta
DPB = 3,591 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,774 anos).
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 19,33 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 2 994,16
NPV(20%) = −428,24
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.