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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €2 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 3 anos.
PV = €2 0004% / 12n = 3
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €15 000 é pago em prestações mensais iguais durante 3 anos. A taxa de juro é de 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €15 0007,2% / 12N = 36
A = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 8 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 5%) quando seu rendimento até o vencimento é 3,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 8y0 = 3,5%y1 = 2,5%
HPR = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 20 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 9%) é vendido a €1 098. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 6 anos a um preço de resgate de €1 090. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 9%P = €1 098preço de resgate = €1 090resgate em 6 anos
YTC = %
5.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 1,25 tem retorno exigido de 10,38%. A taxa livre de risco é 3,5%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 1,25re = 10,38%rf = 3,5%
rm = %
6.CAPM e WACCDifícil
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,8. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,6. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco é 2% e o prêmio de risco de mercado é 5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 0,8D/E = 0,6T = 25%rf = 2%rm − rf = 5%
re = %
7.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €5 000, €6 000, €9 000, €6 000. O custo do capital é de 8 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €4 000, €7 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 7 000
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 2255 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·3 = 36
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8063
A = 15 000·0,006/(1 − 0,8063) = €464,53
Resposta
A = €464,53
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 9,575 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1098 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Resolva numericamente
y = 8%: €1 102,94
y = 9%: €1 053,66
YTC = 8,098%
Resposta
YTC = 8,098%
O rendimento até o vencimento é 8,002%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
5.CAPM e WACC
Resposta: rm = 9,004 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (10,38% − 3,5%)/1,25 = 5,504%
Retorno do mercado
rm = 3,5% + 5,504% = 9,004%
Resposta
rm = 9,004%
6.CAPM e WACC
Resposta: re = 7,8 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 0,8·(1 + 0,75·0,6) = 1,16
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2% + 1,16·5% = 7,8%
Resposta
re = 7,8%
7.VAL e TIR
Resposta: NPV = 1328 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 5 000/1,08 = 4 629,63
CF2/(1 + 0,08)2 = 6 000/1,166 = 5 144,03
CF3/(1 + 0,08)3 = 9 000/1,26 = 7 144,49
CF4/(1 + 0,08)4 = 6 000/1,36 = 4 410,18
Somar
NPV = €1 328,33
Resposta
NPV = €1 328,33
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 6,023 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 158,73
NPV(10%) = −578,51
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.