Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €20 000 a uma taxa nominal de 5 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 9 anos.

PV = €20 0005% / 12n = 9

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você quer €10 000 daqui a 8 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.

FV = €10 0007,2% / 12N = 96

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 4% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 2%YTM = 4%n = 11

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título é negociado a €1 085 com rendimento até o vencimento de 4% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 7 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 25 pontos-base.

P₀ = €1 085y = 4%D = 7Δy = −25 bp

P = €

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €6 000 000 e custo do capital próprio de 12%. Sua dívida consiste em 4 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 6 anos até o vencimento) negociados a €949 cada. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €6 000 000r_e = 12%títulos: 4 000 × €949cupom = 4%n = 6T = 20%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €37 000, €30 000, €30 000, €34 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 37 000CF₂ = 30 000CF₃ = 30 000CF₄ = 34 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um investimento de €50 000 retorna €8 000 no final de cada ano durante 10 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.

C₀ = €50 000CF = €8 000n = 10

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 31337 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·9 = 108

Valor futuro

FV = 20 000·(1 + 0,004167)¹⁰⁸ = 20 000·1,567 = €31 336,93

Resposta

FV = €31 336,93

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 77,33 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·8 = 96

Depósito

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,006/(1,776 − 1) = €77,33

Resposta

A = €77,33

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 823,4 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €10,00, i = 0,02, N = 22

Valor presente dos cupons

€10,00·(1 − 0,6468)/0,02 = €176,58

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6468 = €646,84

Preço

P = €823,42

Resposta

P = €823,42

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1103 €

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modificada

D_mod = 7/1,04 = 6,731

Variação estimada do preço

%ΔP ≈ −6,731·(−0,0025) = 1,683%

P ≈ 1085·(1 + 0,01683) = €1 103,26

Resposta

P = €1 103,26

A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 10,41 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·13% + 0,2857·5%·(1 − 0,21) = 10,41%

Resposta

WACC = 10,41%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,901 %

Custo da dívida (YTM)

949 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 5,005%

Valores de mercado

D = 4 000·€949 = €3 796 000

V = €9 796 000, E/V = 0,6125, D/V = 0,3875

WACC

WACC = 0,6125·12% + 0,3875·5,005%·(1 − 0,2) = 8,901%

Resposta

WACC = 8,901%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 36210 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 37 000/1,07 = 34 579,44

CF₂/(1 + 0,07)² = 30 000/1,145 = 26 203,16

CF₃/(1 + 0,07)³ = 30 000/1,225 = 24 488,94

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 34 000/1,311 = 25 938,44

Somar

NPV = €36 209,97

Resposta

NPV = €36 209,97

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 9,606 %

Fator de anuidade necessário

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 50 000/8 000 = 6,25

Resolver para a taxa

O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.

i = 9%: 6,418

i = 10%: 6,145

IRR = 9,606%

Resposta

IRR = 9,606%

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