Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 15% ao ano, capitalizada semestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 15%m = 2

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um financiamento imobiliário de €300 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 11? Encontre o saldo devedor B.

P = €300 0002,4% / 12N = 300k = 132

B = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 8% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 8%n = 9

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 3%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 5%n = 5YTM = 3%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 1,1 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,4. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 0,75. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco 3% e o prêmio de risco de mercado 5%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,4D/E₂ = 0,75T = 25%r_f = 3%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €400 000 hoje. Ele gera €35 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 1% ao ano para sempre. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €35 000g = 1%r = 12%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um investimento de €50 000 retorna €15 500 no final de cada ano durante 6 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.

C₀ = €50 000CF = €15 500n = 6

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 15,56 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,15/2 = 0,075

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,075)² − 1 = 1,156 − 1 = 15,56%

Resposta

EAR = 15,56%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: B = 189729 €

Prestação mensal

i = 0,002, N = 300

A = 300 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁰⁰) = €1 330,79

Valor presente das prestações restantes

O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.

N − k = 300 − 132 = 168

B = 1331·(1 − (1 + 0,002)⁻¹⁶⁸)/0,002 = €189 729,03

Resposta

B = €189 729,03

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 778,5 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €22,50, i = 0,04, N = 18

Valor presente dos cupons

€22,50·(1 − 0,4936)/0,04 = €284,83

Valor presente do valor de face

€1 000·0,4936 = €493,63

Preço

P = €778,46

Resposta

P = €778,46

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 4,568 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 50/1,03 = 48,54, t·PV = 48,54

t = 2: 50/1,061 = 47,13, t·PV = 94,26

t = 3: 50/1,093 = 45,76, t·PV = 137,27

t = 4: 50/1,126 = 44,42, t·PV = 177,70

t = 5: 1050/1,159 = 905,74, t·PV = 4 528,70

Duration

P = 1 091,59

D = 4 986,47/1 091,59 = 4,568

Resposta

D = 4,568 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,567 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·8% + 0,09091·4,5%·(1 − 0,28) = 7,567%

Resposta

WACC = 7,567%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 9,611 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 1,1/(1 + 0,75·0,4) = 0,8462

Realavanque com o novo D/E

β_L = 0,8462·(1 + 0,75·0,75) = 1,322

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,322·5% = 9,611%

Resposta

r_e = 9,611%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −81818 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor dos fluxos de caixa

PV = 35 000/(0,12 − 0,01) = 318 181,82

NPV

NPV = 318 181,82 − 400 000 = −€81 818,18

Resposta

NPV = −€81 818,18

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 21,24 %

Fator de anuidade necessário

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 50 000/15 500 = 3,226

Resolver para a taxa

O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.

i = 21%: 3,245

i = 22%: 3,167

IRR = 21,24%

Resposta

IRR = 21,24%

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