Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €25 000 daqui a 3 anos. Uma conta rende 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €25 0006% / 12n = 3

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €250 no fim de cada mês durante 27 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €2502,4% / 12N = 324

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 5%n = 8

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) é vendido a €1 166. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 6 anos a um preço de resgate de €1 070. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.

F = €1 000cupom = 7%P = €1 166preço de resgate = €1 070resgate em 6 anos

YTC = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma ação com beta de 1,2 tem retorno exigido de 9,3%. A taxa livre de risco é 1,5%. Que retorno esperado do mercado r_m o CAPM implica?

β = 1,2r_e = 9,3%r_f = 1,5%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 4 000 000 ações a €19,50 cada e 40 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 8,5%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €60 000 hoje e retorna €17 000, €21 500, €22 500, €20 500, €15 000 no final dos anos 1 a 5. O custo de capital é 8%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 000CF₂ = 21 500CF₃ = 22 500CF₄ = 20 500CF₅ = 15 000

DPB = anos

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €25 000 e devolve €13 000, €15 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −25 000CF₁ = 13 000CF₂ = 15 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 20891 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·3 = 36

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,197 = €20 891,12

Resposta

PV = €20 891,12

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 113810 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·27 = 324

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,91 − 1)/0,002 = €113 809,60

Resposta

FV = €113 809,60

Pôs €81 000 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 967,4 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €22,50, i = 0,025, N = 16

Valor presente dos cupons

€22,50·(1 − 0,6736)/0,025 = €293,74

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6736 = €673,62

Preço

P = €967,36

Resposta

P = €967,36

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTC = 4,786 %

Equação do rendimento

1166 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1070/(1 + y)⁶

Resolva numericamente

y = 4%: €1 212,59

y = 5%: €1 153,75

YTC = 4,786%

Resposta

YTC = 4,786%

O rendimento até o vencimento é 5,001%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.

5.CAPM e WACC

Resposta: r_m = 8 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Prêmio de risco de mercado

r_m − r_f = (9,3% − 1,5%)/1,2 = 6,5%

Retorno do mercado

r_m = 1,5% + 6,5% = 8%

Resposta

r_m = 8%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,711 %

Valores de mercado

E = 4 000 000·€19,50 = €78 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·6,5% = 9,8%

Pesos

V = €117 200 000, E/V = 0,6655, D/V = 0,3345

WACC

WACC = 0,6655·9,8% + 0,3345·4,5%·(1 − 0,21) = 7,711%

Resposta

WACC = 7,711%

7.VAL e TIR

Resposta: DPB = 3,529 anos

Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.

Fluxos de caixa descontados e acumulados

ano 1: 17 000/1,08 = 15 740,74 → Σ = 15 740,74

ano 2: 21 500/1,166 = 18 432,78 → Σ = 34 173,53

ano 3: 22 500/1,26 = 17 861,23 → Σ = 52 034,75

ano 4: 20 500/1,36 = 15 068,11 → Σ = 67 102,86

Fração do último ano

DPB = 3 + 7 965,25/15 068,11 = 3,529

Resposta

DPB = 3,529 anos

O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,956 anos).

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 8,922 %

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(5%) = 1 439,91

NPV(10%) = −371,90

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 5 + 5·1 439,91/(1 439,91 − (−371,90)) = 8,974%

exato: NPV(8,922%) = 0 → IRR = 8,922%

Resposta

IRR = 8,922%

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