Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €20 000 daqui a 2 anos. Uma conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €20 0004,8% / 4n = 2

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €150 no fim de cada mês durante 9 anos. A conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €1504,8% / 12N = 108

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 6 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €952 quando o rendimento até o vencimento é 7%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 6P = €952YTM = 7%

c = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 8%n = 5YTM = 6%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €12 000 000 e custo do capital próprio de 9%. Sua dívida consiste em 4 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 6%, 12 anos até o vencimento) negociados a €959 cada. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €12 000 000r_e = 9%títulos: 4 000 × €959cupom = 6%n = 12T = 21%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €13 000, €25 000, €25 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 13 000CF₂ = 25 000CF₃ = 25 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

O projeto A custa €40 000 e retorna €21 500, €16 000, €9 500 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €42 000 e retorna €10 500, €17 500, €22 500. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.

A: −40 000, 21 500, 16 000, 9 500B: −42 000, 10 500, 17 500, 22 500

r* = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 18180 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·2 = 8

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,1 = €18 179,67

Resposta

PV = €18 179,67

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 20213 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·9 = 108

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,539 − 1)/0,004 = €20 212,81

Resposta

FV = €20 212,81

Pôs €16 200 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 5,993 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,07)⁻⁶ = €666,34

Cupom

C = (952 − 666,34)/4,767 = €59,93

Taxa de cupom

c = 59,93/1000 = 5,993%

Resposta

c = 5,993%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 4,342 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 80/1,06 = 75,47, t·PV = 75,47

t = 2: 80/1,124 = 71,20, t·PV = 142,40

t = 3: 80/1,191 = 67,17, t·PV = 201,51

t = 4: 80/1,262 = 63,37, t·PV = 253,47

t = 5: 1080/1,338 = 807,04, t·PV = 4 035,19

Duration

P = 1 084,25

D = 4 708,04/1 084,25 = 4,342

Resposta

D = 4,342 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 11,68 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·13% + 0,1429·5%·(1 − 0,25) = 11,68%

Resposta

WACC = 11,68%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,064 %

Custo da dívida (YTM)

959 = 60·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 6,503%

Valores de mercado

D = 4 000·€959 = €3 836 000

V = €15 836 000, E/V = 0,7578, D/V = 0,2422

WACC

WACC = 0,7578·9% + 0,2422·6,503%·(1 − 0,21) = 8,064%

Resposta

WACC = 8,064%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −7727 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 13 000/1,09 = 11 926,61

CF₂/(1 + 0,09)² = 25 000/1,188 = 21 042,00

CF₃/(1 + 0,09)³ = 25 000/1,295 = 19 304,59

Somar

NPV = €−7 726,81

Resposta

NPV = €−7 726,81

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: r* = 5,467 %

Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.

Diferença dos fluxos de caixa

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 10 500 − 21 500 = −11 000

ΔCF₂ = 17 500 − 16 000 = 1 500

ΔCF₃ = 22 500 − 9 500 = 13 000

TIR da diferença

NPV_Δ(5%) = 114,24

NPV_Δ(6%) = −127,31

r* = 5,467%

Resposta

r* = 5,467%

Verificação: a 5,467% os dois VPLs valem €2 867,42.

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