Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €25 000 daqui a 10 anos. Uma conta rende 5 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €25 0005% / 4n = 10

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €250 no fim de cada mês durante 11 anos. A conta rende 5,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €2505,4% / 12N = 132

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Você compra um título com 4 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 3%) quando seu rendimento até o vencimento é 5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 6,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.

F = €1 000cupom = 3%n = 4y₀ = 5%y₁ = 6,5%

HPR = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 10 anos e é vendido por €1 075. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 6%n = 10P = €1 075

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 12%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 4 000 000 ações a €54,50 cada e 5 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 6,5%. Calcule o WACC.

β = 1,3r_f = 1,5%r_m = 6,5%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €60 000 hoje e retorna €22 000, €24 000, €18 500, €15 000, €17 000, €12 500 no final dos anos 1 a 6. O custo de capital é 12%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 24 000CF₃ = 18 500CF₄ = 15 000CF₅ = 17 000CF₆ = 12 500

DPB = anos

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €50 000 e devolve €26 000, €34 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −50 000CF₁ = 26 000CF₂ = 34 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 15210 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·10 = 40

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,644 = €15 210,33

Resposta

PV = €15 210,33

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 44934 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·11 = 132

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,809 − 1)/0,0045 = €44 933,72

Resposta

FV = €44 933,72

Pôs €33 000 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: HPR = 0,885 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço de compra

C = €30,00, i = 0,05, N = 4

€30,00·(1 − 0,8227)/0,05 + €1 000·0,8227 = €106,38 + €822,70 = €929,08

Preço de venda

C = €30,00, i = 0,065, N = 3

€30,00·(1 − 0,8278)/0,065 + €1 000·0,8278 = €79,45 + €827,85 = €907,30

Retorno no período de posse

HPR = (30 + 907,30 − 929,08)/929,08 = 0,885%

Resposta

HPR = 0,885%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 5,027 %

Equação do rendimento

€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Resolva numericamente

P(5%) = €1 077,22, P(6%) = €1 000,00

YTM = 5,027%

Resposta

YTM = 5,027%

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,25 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·12% + 0,4·3,5%·(1 − 0,25) = 8,25%

Resposta

WACC = 8,25%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,881 %

Valores de mercado

E = 4 000 000·€54,50 = €218 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,3·5% = 8%

Pesos

V = €223 100 000, E/V = 0,9771, D/V = 0,02286

WACC

WACC = 0,9771·8% + 0,02286·4%·(1 − 0,3) = 7,881%

Resposta

WACC = 7,881%

7.VAL e TIR

Resposta: DPB = 3,845 anos

Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.

Fluxos de caixa descontados e acumulados

ano 1: 22 000/1,12 = 19 642,86 → Σ = 19 642,86

ano 2: 24 000/1,254 = 19 132,65 → Σ = 38 775,51

ano 3: 18 500/1,405 = 13 167,93 → Σ = 51 943,44

ano 4: 15 000/1,574 = 9 532,77 → Σ = 61 476,22

Fração do último ano

DPB = 3 + 8 056,56/9 532,77 = 3,845

Resposta

DPB = 3,845 anos

O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,757 anos).

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 12,46 %

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(10%) = 1 735,54

NPV(15%) = −1 682,42

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 10 + 5·1 735,54/(1 735,54 − (−1 682,42)) = 12,54%

exato: NPV(12,46%) = 0 → IRR = 12,46%

Resposta

IRR = 12,46%

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