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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €8 000 no final de cada ano durante 4 anos. A taxa de juros é 10% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €8 000i = 10%n = 4
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €20 000 a 5,4% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €400 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €20 000A = €4005,4% / 12
N = pagamentos
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 7 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 6%YTM = 5%n = 7
P = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é 5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 4%n = 4YTM = 5%
D = anos
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €3 000 000 e dívida no valor de €1 000 000. Seu WACC é 7,29%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 28%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €49,00 cada e 10 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 6,5%. Calcule o WACC.
β = 1,3rf = 2,5%rm = 6,5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €13 000, €15 000, €15 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €40 000 e devolve €25 500, €23 000, €28 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 25 500CF2 = 23 000CF3 = 28 000
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 25359 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,683)/0,1 = 3,17
Valor atual
PV = 8 000·3,17 = €25 358,92
Resposta
PV = €25 358,92
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 57 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,0045/400 = 0,775
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,775)/ln(1,004) = 56,77
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
56 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 57
Resposta
N = 57 pagamentos
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1058 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €30,00, i = 0,025, N = 14
Valor presente dos cupons
€30,00·(1 − 0,7077)/0,025 = €350,73
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7077 = €707,73
Preço
P = €1 058,45
Resposta
P = €1 058,45
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
4.Preço e rendimento de títulos
Resposta: D = 3,77 anos
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 40/1,05 = 38,10, t·PV = 38,10
t = 2: 40/1,103 = 36,28, t·PV = 72,56
t = 3: 40/1,158 = 34,55, t·PV = 103,66
t = 4: 1040/1,216 = 855,61, t·PV = 3 422,44
Duration
P = 964,54
D = 3 636,76/964,54 = 3,77
Resposta
D = 3,77 anos
5.CAPM e WACC
Resposta: re = 9 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
Parte da dívida no WACC
0,25·3%·(1 − 0,28) = 0,54%
Custo do capital próprio
re = (7,29% − 0,54%)/0,75 = 9%
Resposta
re = 9%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,438 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 13 000/1,09 = 11 926,61
CF2/(1 + 0,09)2 = 15 000/1,188 = 12 625,20
CF3/(1 + 0,09)3 = 15 000/1,295 = 11 582,75
Somar
NPV = €6 134,56
Resposta
NPV = €6 134,56
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 40,3 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 153,06
NPV(45%) = −2 289,97
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.